一級至五級巴特沃斯低通濾波器


二級巴特沃斯低通濾波器

[編輯] 巴特沃斯濾波器的特性

巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。 在振幅的對數對角頻率的波得圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐步減少，趨向負無窮大。

一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6分貝，每十倍頻20分貝。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝、三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻 18分貝、如此類推。巴特沃斯濾波器的振幅對角頻率單調下降，並且也是唯一的無論階數，振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過濾波器階數越 高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低級數的振幅對角頻率有不同的形狀。

[編輯] 轉移函數

巴特沃斯低通濾波器可用如下振幅的平方對頻率的公式表示:

\left |H(\omega)\right|^2 = \frac {1}{1+\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^{2n}} = \frac{1}{1+\epsilon^2\left(\frac{\omega}{\omega_p}\right)^{2n}}

其中, n = 濾波器的階數
ωc =截止頻率 =振幅下降為 -3分貝時的 頻率
ωp = 通頻帶邊緣頻率
1/(1 + ε2) = |H(ω)|2在通頻帶邊緣的數值.

在二維複平面上\left |H(\omega)\right|^2=H(s)H^* (s)=H(s)H(-s) 在 s = jω點的數值= |H(ω)|2, 因此通過解析延拓:

H(s)H(-s) = \frac {1}{1+\left (\frac{-s^2}{\omega_c^2}\right)^n}

上述函數的極點等距離地分佈在半徑為ωc的圓上

\frac{-s^2}{\omega_c^2} = (-1)^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{j(2k+1)\pi}{n}}

k = 0, 1, 2, ....., n-1
因此,

s_k = \omega_ce^{\frac{j\pi}{2}}e^{\frac{j(2k+1)\pi}{2n}}

k = 0, 1, 2, ...., n-1

n階巴特沃斯低通濾波器的振幅和頻率關係可用如下的公式表示：

G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + (\omega / \omega_\mathrm{c}) ^ {2 n}} }

其中：

  • G 表示濾波器的放大率，
  • H 表示 轉移函數，
  • j 是 虛數單位，
  • n 表示濾波器的級數，
  • ω 是信號的 角頻率，以弧度/秒 為單位，
  • ωc 是振幅下降3分貝時的截止頻率。

令截止頻率ωc = 1), 將上列公式規定一化成為：

G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + \omega ^ {2 n}} }

[編輯] 根據衰減度求濾波器的階數

令 1/A=Gn(ω)

n = \frac{log_{10}(A^2-1)}{2log_{10}(\omega)}

例：在 (ω) = 2 時 Gn(ω)=0.005

A= 200, n=7.6, 取大一號整數，即需要 8 階巴特沃斯濾波器。


二階巴特沃斯低通濾波器的波特圖

[編輯] 幅度最平坦的濾波器

g的頭(2n-1)次導數在ω = 0時為零，說明放大率對 ω 是常數。 因此巴特沃斯濾波器又被稱為最平坦的濾波器。

[編輯] 高頻衰減

{{\left | H(j \omega) \right |^2}_{dB}} = {20n}{log_{10}{\omega}}

因此，n階巴特沃斯低通濾波器的高頻衰減為每十倍頻20n 分貝。

[編輯] 實例

k階巴特沃斯濾波器的考爾第一型電子線路圖如下: 其中：

  • 電容C_k = 2 sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]; k = 奇數
  • 電感L_k = 2 sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]; k = 偶數

[編輯] 規一化的巴特沃斯多項式

n
多項式因子 Bn(s)

1
(s + 1)

2
s2 + 1.414s + 1

3
(s + 1)(s2 + s + 1)

4
(s2 + 0.7654s + 1)(s2 + 1.8478s + 1)

5
(s + 1)(s2 + 0.6180s + 1)(s2 + 1.6180s + 1)

6
(s2 + 0.5176s + 1)(s2 + 1.414s + 1)(s2 + 1.9318s + 1)

7
(s + 1)(s2 + 0.4450s + 1)(s2 + 1.247s + 1)(s2 + 1.8022s + 1)

8
(s2 + 0.3986s + 1)(s2 + 1.111s + 1)(s2 + 1.6630s + 1)(s2 + 1.9622s + 1)

[編輯] 與其他類型濾波器的比較

下圖是巴特沃斯濾波器（左上）和同階第一類切比雪夫濾波器（右上）、第二類切比雪夫濾波器（左下）、橢圓函數濾波器（右下）的頻率響應圖。

由圖可見，巴特沃斯濾波器的衰減速度比其他類型濾波器緩慢，但十分平坦，沒有幅度變化。

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