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球 形端銑刀(ball end mill)為曲面精切削加工中最常用的切削刀具,曲面精切削時球形端銑刀的切削量不大,對於球形端銑刀切削加工完成後工件表面的品質要求非常高。由於球形 端銑刀的刀刃形狀為圓弧形,導致切削時,會在切削路徑間(pitch between two cutting paths)形成扇形高度(Scallop height),並且會因球形端銑刀刀刃在切削時之旋轉和移動的效應而形成在切削進給間(feed between two cutting teeth)之方向產生切削殘留(Cutting Remainder)。此二種切削殘留是影響精切削完成後形成工件表面粗糙度的主要因素。切削進給方向之切削殘留形成的原因比扇形高度來得複雜,而且較難 使用幾何圖形解析方式來求得。先建立球刀切削點運動軌跡之數學方程式,再使用牛頓拉佛森疊代法解出刀刃切削點之運動路徑時間差,進而代入球刀切削點運動方 程式以數值方法求得球刀刀刃加工運動路徑之交點,找出在不同切入角度相位差及不同刀具傾斜角之因素下切削殘留( Cutting Remainder)最高點之值及位置。再配合"Z方向搜尋法(Z-map)"的運算方式,模擬出球形端銑刀在不同的切削條件下所形成的切削殘留3D圖。 針對不同刀具半徑以及不同之每刃進給和刀具加工之路徑間距找出最佳之進給速率的組合以兼顧表面粗糙度和加工效率以及針對刀刃形狀的的改進研究。

非數控加工球頭銑刀的主幹數學模型

 圖1 前刀面加工原理

2 前刀面加工原理及主幹模型

為 有利於切削,球頭銑刀的刃口曲線應為“S”形球面曲線,即加工形成的前刀面與球面的交線應為“S”形曲線。為此設計的球頭銑刀前刀面加工原理如圖1所示。 加工時,錐面砂輪繞定軸O1回轉,同時工件(被加工銑刀)繞其軸線Oz回轉,錐面砂輪相對工件運動形成的砂輪廓面族的包絡面即為前刀面。

為 建立前刀面加工的主幹數學模型,選取分別固聯在工件和砂輪上的右手直角坐標系s=[O;x,y,z]和s1=[O1;x1,y1,z1](見圖1),其中 y 和y1軸平行且指向上方。若記砂輪大端半徑為R2,錐面砂輪半頂角為g,砂輪大端到O1的距離為p,z 和z1軸的夾角為f,則當球頭半徑為R時,由坐標系s1轉換到坐標系s的變換式為

r={x,y,z}={x1cosf z1sinf-psinf,y1 R2,x1sinf z1cosf R-pcosf}

(1)

在坐標系s1中的砂輪輪廓面方程為

r1={x1,y1,z1}={ucosv,usinv,p (R2-u)cotg}

(2)

令砂輪輪廓面繞y1軸以角速度w1回轉,並將得到的在t時刻的暫態方程轉換到坐標系s中,再令其相對Oz軸以角速度w2回轉,即可得到相對運動下砂輪廓面族的包絡面(即前刀面)方程為

(3)

3 刃口曲線及參數優化

式(3)方程組中第一式對應的球面為

x*2 y*2 z*2=R2

(4)

該球面與前刀面的交線即為刃口曲線。為使刃口曲線為理想的“S”形曲線,應對設計變數進行優選。設計變數為

X=[X1,X2,X3]=[p,q,R2]

(5)

其中q=w2/w1。具體的優選數學模型可參閱時培林、王偉、唐餘勇合著的《關於球面銑刀製造中數學模型研究》(刊於《機械工程學報》1994年第5期),此處從略。

圖2 後刀面加工原理

4 後刀面加工原理及主幹模型

設由式(3)、(4)解得的球面刃口曲線為

r2={x2,y2,z2}

(6)

磨 制的後刀面必須過該刃口曲線,且具有足夠後角。為此設計的後刀面加工原理如圖2所示。圖中,P0為y 軸上的定點(0,y0,0),P2為刃口曲線上的任一點,P為平面靠模曲線上的對應點,由P點軌跡來保證砂輪廓面沿球面曲線進行磨削。設過P2點且垂直於 直母線的直線交砂輪軸線P0P於P點,則只需求出方向向量P2P即可求出P點座標,進而可求出直線P0P上與y=y0平面的交點P(x,y0,z)的軌跡 (即靠模曲線)。若設向量P2P上的單位向量為t={ , , },柱面砂輪半徑為R1,則有

(7)

求出單位向量t={ , , },則P點軌跡方程為

rP=r2 R1t

(8)

則直線P0P的方程為

rp=rp0 l(rp-rp0)/(rp-rp0)

(9)

該直線與平面y=y0的交點軌跡即為靠模曲線。

因篇幅所限,不再羅列上述主幹數學模型的具體運算式。

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