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摘要　提出了一种在参数坐标系下自适应步长和行距的计算方法，该算法考虑了不同刀具接触点处的曲率差异，在满足加工精度和粗糙度的前提下，又能有效地提高加 工效率。该算法适合加工汽车车身模具等曲率变化大的曲面。文中还给出了刀位计算公式。
　　关键词　平头立铣刀　自由曲面　五轴数控加工　刀具轨迹

An algorithm for calculating 5-axis cutter path on sculptured surfaces with flat-end milling cutter

Li Xiaoping　Yu Daoyuan　Tang Yangping　Duan Zhengcheng

　　Abstract:This paper presents a new algorithm of adaptive step lengt hs and path interval on parametric coordinate system.As the algorithm considers the radius of the curvature difference between different cutter contact points， so it can improve machining efficiency and the accuracy of the finished surface. This algorithm is suitable for machining sculptured surface. A method of calcul ating cutter location point is also presented in this paper.
Key Words:flat-end milling cutter,seulptured surface,5-axis NC machining,cutter path

1　前言

　 　自由曲面在模具中应用非常广泛，如汽车车身模具、塑料模、叶片锻模、铸模等，大都包含自由曲面（以下简称曲面）。曲 面的加工通常由球面刀和非球面刀（如平头立铣刀、锥状刀、鼓形刀等）完成，由于平头立铣刀（以下简称立铣刀）的切削效率、加工质量、使用寿命等都优于球面 刀^［1］，应优先选择。近几年来，国内外有关曲面立铣刀五轴数控加工轨迹的算法的研究较多^［4～6］，这些 算法用微分几何的方法对步长和行距进行预测，公式简单，计算量小，但它们没有考虑相邻刀具接触点间曲率的变化，对于加工曲率变化小的曲面比较有效，不适合 曲率变化大的曲面。本文提出一种在参数坐标系下自适应步长和行距的计算方法。该算法在满足加工精度和粗糙度的前提下，又能有效地提高加工效率，适合曲率变 化大的曲面的加工。

2　刀具的有效半径五轴立铣加工曲面时，由于立铣刀 的切削刃在立铣刀的周边上，所以立铣刀的轴线与曲面的法线之间应当偏置一个刀具半径，方 能有效地切削曲面。考虑到刀具与曲面干涉等因素，立铣刀在偏置的同时，其轴线在被加工点的法平面内还应与法线夹一角度φ（图1），n为被切削曲面单位法向 矢量，T_ax为刀具单位轴向矢量，R为刀具半径，那么，刀具的有效切削半径定义为：R_e=Rsinφ。在图1所示的状态下，其端面在被加工点的密切面上的投影为长半轴R、短半轴为R_e的椭圆。若坐标原点在刀具端面的圆心上，以长、短半轴为坐标轴，立铣刀的端面的方程为：

　(1)

图1　刀具有效

　　为此，立铣刀切削曲面可以看作一把椭圆成形刀在加工曲面。

3　自适应步长的计算

　　在五坐标数控加工过程中，由于曲面各处的法向矢量是变化的，必然会引起刀具轴向矢量的变化，即刀轴的摆动会使刀具与曲面的接触点轨迹不是一条直线，而是曲线。所以，五坐标立铣加工误差δ包括直线逼近误差δ_t和刀轴摆动误差δ_n（图2）。本算法选择曲面某一参数方向（如u向）作为步长进行误差控制（图3），点r(w_i,0)、r(w_i,1)为曲线r(w_i,0)r(w_i,1)上两点，连接点r(w_i,0)、r(w_i,1)成一弦，点r(w_i,u)为曲线到弦r(w_i,0)r(w_i,1)的最大距离点，计算该点处的直线逼近误差和刀轴摆动误差，比较加工误差δ与允差ε的大小，若δ＞ε，连接新的端点r(w_i,u)、r(w_i,0)形成新弦r(w_i,0)r(w_i,u)，将新的参数曲线的区间［0，u］转换到［0，1］区间，再次计算加工误差δ，如此下去，直到δ<ε为止。记下此点Δu值，作为加工步长，再以r(u)为新起点，重复计算，即可算出每一点的步长。

图2　步长误差的控制

3.1　直线逼近误差的计算

图3　直线逼近误差的计算

　　如图3所示，曲线r(w_i,0)r(w_i,1)的加工实际是通过插补多段内接弦来逼近它。考虑到加工效率，希望弦长尽量大，弦的段数尽量少，即在满足精度的情况下取最大的弦长来逼近，通常的办法是从曲线的一端开始采用迭代搜索法求取弦的另一端点。连接点r(w_i,0)、r(w_i,1)成一弦，若弦r(w_i,0)r(w_i,1)用矢量c表示，d表示曲线上的点到弦r(w_i,0)r(w_i,1)的最大距离，即δ_t=｜d｜。
那么存在：d=r(w_i,u)-r(w_i,0)-λc　　　(2)

式中：λ——系数，λ∈［0，1］。
　　由于c与d垂直，可得到：

cd=0　　　(3)

　　联立式（2）、(3)解得：

(4)

(5)　上式可以写成：

d=P［r(w_i,u)-r(w_i,0)］　　　(6)

其中，，称为投影矩阵，I为单位矩阵。
　　由于在弦向偏差最大处，曲线切矢垂直于矢量d，即r′((w_i,u)d=0　　　(7)
故r′((w_i,u)P［r(w_i,u)－r(w_i,0)］=0　　　(8)
　　上式中除两端点为根外，还有多个根，由于在弦向偏差最大处，存在：

r″(w_i,u)d＜0　　　(9)

所以把式(8)和u∈（0,1）用于每一个根处，式(7)中满足式(8)和u∈（0，1）的根即为最大偏差处相应的u值，因此，可求出δ_t。
　　上述算法过程中，首先必须检查曲线段内有无拐点，并计算出该点的位置。若曲线段有拐点，则以此拐点将曲线一分为二，将两段参数曲线的区间［u₁,u₂］转换到［0，1］区间，分别对两段曲线采用二分法进行迭代。
3.2　刀轴摆动误差的计算
　　刀轴摆动误差是加工过程中，由于刀具轴向矢量摆动引起的非线性误差(见图2)。可以证明^［6］：

｜δ_n｜≤R_e(k_f^.ΔS_u)　　　(10)

式中：k_f——直线逼近段内曲面沿进给方向在最大直线逼近误差点处的法曲率；
　　　ΔS_u——逼近段弧长。

ΔSu=∫u2u1｜r′（Wi,u）｜du　　　(11)

　　当k_f＜0时，加工表面沿走刀方向为凸曲线，刀具接触点的轨迹为凹曲线，因此，加工误差为直线逼近误差和刀轴摆动误差绝对值之和，即：δ=｜δ_n｜+｜δ_t｜。
　　当k_f＜0时，加工表面沿走刀方向为凹曲线，刀具接触点的轨迹亦为凹曲线，且刀轴摆动误差｜δ_n｜总是小于直线逼近误差｜δ_t｜，因此，可视直线逼近误差｜δ_t｜为加工误差δ，即：δ=｜δ_t｜。

4　自适应行距的计算

　　虽然曲面的形状各异，但是刀具在加工这些曲面时，都是按照一定的曲线走刀加工出整张曲面的。对于刀具接触点而言，根据其所在曲线在该点处的曲率大小可以分为三类：凸点、凹点、拐点，在这里将直线上的点也归为拐点类。凸点、凹点、拐点可以根据其曲率k_f的大小加以判别：
　　当k_f＞0时，为凸点；
　　当k_f＜0时，为凹点；
　　当k_f＝0时，为拐点。
　　与凸点、凹点、拐点相对应，这些点所在的曲线可以分为凸曲线、凹曲线、直线。当刀具的接触点是凸点、凹点或拐点时，在密切面内，这三类点邻域的曲线可以分别看成是凸圆弧、凹圆弧和直线。因此，在计算自由曲面的行距时，可以直接在圆弧和直线上加以计算。
　　图4a为立铣刀加工凸曲面时的情形，ρ为刀具接触点处的曲率半径，ΔS_w为行距，椭圆代表立铣刀，刀具接触点分别为B、C两点，即点r(w₁,u_i)、r(w₂,u_i)，设坐标原点在立铣刀的中心上，那么，A点的坐标为：
　　　x=(ρ+h)sinα
　　　y=(ρ+h)cosα-(ρ+Rsin)

图4
(a)凸曲线　　　(b)凹曲线　　　(c)直线

　　由于A点在椭圆上，必满足式(1)的椭圆方程，即：

　这是一个一元二次方程，可解出h：

(12)对于图4b，

　(13)

式(12)、(13)中

α=ΔS_w/（2ρ）　　　(14）

其中ΔS_w为弧BC的弧长:

ΔSw＝∫w2w1｜r′（w,ui）｜dw　　　(15)

对于图4c，

h=Rsinφ-sinφ(R²-L²/4)^0.5(16)

　　此时，刀具的行距为线段L，即B、C两点间的距离。
　　至此，已经推导出了三种情形下残留高度的计算公式，可分别用式(12)、(13)、（16）计算出这三种情形下的残留高度。行距的大小就是根据h与ε的比较结果而定的。若h≤ε，那么此时的计算行距ΔS_w就能满足要求；若h＞ε，那么需要减小Δw，直至h≤ε为止。为求得满足条件的Δw_min，由步长算法可得到一组u_i值，求出对应的Δw值，取其中的最小的Δw即为参数轴上的行距。

5　刀具轨迹的计算

　　刀具轨迹的计算包括刀具的中心点和刀具轴向矢量的计算。如图5所示，点A为刀具接触点，n为曲面在点A处的单位法矢量，T_ax为刀具单位轴向矢量，T_c为由点A指向刀具中心的单位偏置矢量。

图5　刀具轨迹

　　因为n、T_ax、T_c均在同一平面上，又T_c⊥T_ax，那么矢量n、T_ax1、T_c1组成一个矢量直角三角形。这里T_ax1∥T_ax，T_c1∥T_c，故：

T_c1=n－T_ax1=n－｜ncosφ｜T_ax

又cosφ=nT_ax，故：
　　　T_c1=n－(nT_ax)T_ax
　　单位化矢量T_c：

T_c=T_c1/｜T_c1｜　　　(17）

　　其中刀具轴矢量T_ax可将单位法矢量n在A点法平面内旋转φ角得到，即：

T_ax=nT_R(18)

　　上式中T_R为旋转变换矩阵：

式中：n₁、n₂、n₃——旋转轴单位矢量的方向余弦。
　　于是，刀具中心点的轨迹为：

C_e=r(w,u)+RT_c(19)

6　结论

　 　本文采用弦差法计算五轴立铣刀加工曲面的直线逼近误差，依据微分几何关系计算在最大直线逼近误差处刀轴摆动误差，由 两者构成的加工误差来共同控制加工步长，该算法考虑了不同刀具接触点处的曲率差异。文中还对行距计算公式进行了推导，给出了刀位计算公式。该算法适合加工 曲率变化大的曲面。

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