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Un filtro passa basso è costituito da un circuito elettronico che permette solo il passaggio di frequenze al di sotto di una data frequenza detta "frequenza di taglio". Può essere di tipo attivo o passivo a seconda della presenza di elementi attivi nel circuito quali amplificatori oppure solo passivi. Inoltre, in base alla pendenza del taglio in frequenza, si può distinguere in filtro passa basso di primo ordine (20 db per decade), di secondo ordine (40 db per decade), di terzo ordine (60 db per decade) e così via, che è anche la classificazione dei filtri in cascata, come il doppio passa basso e il doppio passa alto.

Filtro passivo passa-basso [modifica]

 

Schema di filtro passa-basso passivo

Il filtro passa basso passivo tra i più semplici filtri da realizzare è il circuito RC in serie che ha la caratteristica di far passare tutte le componenti di frequenza comprese tra 0 Hz e la frequenza di taglio che dipende dalle caratteristiche degli elementi che lo costituiscono. Al di là di tale frequenza il filtro elimina le componenti in frequenza del segnale.

Possiamo calcolare la funzione di rete più appropriata utilizzando il metodo operatoriale, per esempio calcolando l'impedenza e/o l'ammettenza che sono:

\mathbf Z (s) = R + \frac{1}{sC}
\mathbf Y(s) = \frac{1}{R + 1/sC} = \frac{sC}{1 + sRC} = \frac{1}{R} \frac{\tau s}{1 +\tau s}

dove τ = RC è la costante di tempo caratteristica del circuito. La funzione \mathbf Z(s) ha un polo per s = \frac{1}{\tau}. A seconda dell'ingresso queste due funzioni di rete definiscono completamente la risposta del circuito a qualsiasi segnale di ingresso. A noi però interessa qui solo la sua risposta in frequenza per cui dall'impedenza passando alla sostituzione formale sempre valida s \to j\omega otteniamo la funzione di trasferimento:

k(j \omega) = \frac{1}{1 + j \omega \tau}

che ha ampiezza:

|k(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}}

e fase:

φ(ω) = − arctan(ωτ)

Graficando queste due quantità tramite i diagrammi di Bode si vede che l'ampiezza rimane costante fino alla frequenza di taglio che si ricava imponendo per definizione:

|k(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt 2}

che corrisponde ad una attenuazione del segnale di 3 dB, ottenendo:

\omega_t = \frac{1}{\tau} \, \, \rightarrow \, \, f_t = \frac{1}{2 \pi \tau}

Dopo tale valore l'ampiezza del segnale diminuisce di 20 dB per decade. I valori asintotici dell'ampiezza e della fase sono:

|k(j \omega)| = 1 \, \, \, \omega = 0

che significa che il sistema RC trasmette il segnale in continua,

|k(j\omega)| \to 0 \, \, \, \omega \to \infty

che significa appunto che l'ampiezza si annulla per alte frequenze, mentre per la fase:

\phi(\omega) = 0 \, \, \, \omega = 0
\phi(\omega) = - \frac{\pi}{2} \, \, \, \omega \to \infty
\phi(\omega) = - \frac{\pi}{4} \, \, \, \omega = \omega_t

che significano che il segnale di uscita dal filtro sarà sfasato rispetto all'ingresso, con valori particolari per − π / 2 e − π / 4.

Notiamo che l'impedenza del condensatore è inversamente proporzionale alla frequenza del segnale. Così, se il segnale posto in ingresso avrà una bassa frequenza d'oscillazione, la resistenza del condensatore sarà molto alta ed un quantitativo maggiore di tensione si ripartirà ai capi del condensatore. A seconda del valore della resistenza, sotto una certa frequenza (la frequenza di taglio del circuito), ai capi del condensatore avremo una tensione pressoché uguale alla tensione di ingresso. Quando il valore della frequenza del segnale di input, supera il valore della frequenza di taglio, in uscita avremo una tensione attenuata, tendente a zero, rispetto a quella di ingresso.

Integratore [modifica]


Per approfondire, vedi la voce Circuito RC.

Il filtro passivo passa basso ha un'equazione dinamica lineare che descrive il circuito data da:

vin(t) = Ri(t) + vout

oppure riscritta:

vin − vout = Ri(t)

Integrando ambo i membri di questa equazione:

\int (v_{in} - v_{out}) dt = R \int i(t) \, dt

Ora se vale la condizione v_{in} \gg v_{out} cioè se la caduta di tensione ai capi di C è molto piccola rispetto alla caduta di potenziale ai capi di R, allora si ha come soluzione:

\int v_{in} dt \simeq R \int i (t) \, dt \simeq RC v_{out}

cioè come si vede il segnale di uscita è proporzionale all'integrale del segnale in ingresso, realizzando un integratore. Si può anche vedere più esplicitamente che per realizzare un integratore ideale dovremmo avere in termini di frequenza:

\mathbf{V}_{out} (\omega) = \frac{1}{\lambda \omega} \mathbf{V}_{in}

cioè dovrebbe avere una funzione di trasferimento:

k(j\omega) = \frac{1}{\lambda \omega}

dove λ è un fattore costante di proporzionalità. In base alla risposta in frequenza del filtro passa basso vediamo che il filtro approssima bene un integratore solo per \omega \tau \gg 1 nella regione delle alte frequenze che ha impedenza capacitiva C molto bassa e la curva dell'ampiezza è lineare.

Per un integratore più preciso si deve utilizzare un elemento attivo come l'amplificatore operazionale che permette di produrre un integratore analogico molto efficiente.

Voci correlate [modifica]

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