共点力和平衡状态www.tool-tool.com－BW Professional Cutter Expert www.tool-tool.com

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这两节课文的学习要点有以下几条：

1、弄清共点力和平衡状态这两个概念。

　（1）共点力，是指有共同作用点的力，如图1（a）中的mg、N、f(物体看作质点)；或者是力的作用线延长交于一点的力，如图1（b）的mg、T1、T2 。

　（2）在力学中，平衡状态指物体的加速度为零的状态，包括静止和匀速直线运动。

2、知道共点力作用下物体平衡的条件

　这个条件就是“合外力为零”，用数学式表述就是F合=0 （也写成F=0）在不同情况中，又可将其具体化如下：

　（1）物体只受两力作用时，这两力大小相等，方向相反，力的作用线在同一直线上。

　（2）物体受三个力作用时，任意两个力的合力一定与第3个力等量反向。

　（3）物体受多个力作用时，任意（n-1）个力的合力一定与第n个力等量反向。

3、学会处理物体平衡问题的方法

　一般解题思路和方法如下：

　（1）首先确定研究对象（可以是物体，也可以是一个受力点），将它从结构中“隔离”出来。

（2）分析周边物体对研究对象所施加的作用力，将研究对象所受全部外力弄清楚，用力的图示法表达出来。

　（3）根据平衡条件列出解题方程，也就是找出各个力之间的数量关系。常用的列方程方法有：

①正弦定理法（拉密原理法）。主要用于三力平衡且已知各力间夹角的情况，从力与角度间的关系列出有关力之间的数量关系。如在图2中，若三力F₁，F₂，F₃平衡，则有。

②相似三角形法，也主要用于三力平衡。先根据与第三力（常是已知力）等量反向的原则，画出两力的合力，再由平行四边形定则画出两力。然后找与力的三角形相似的结构三角形，由对应边成比例列出有关力的数量关系。通常在已知模型结构的长度尺寸时使用。

③坐标法。在多个共点力平衡时用比较优越，先建立xoy坐标，使尽可能多的力处在坐标轴上，不在坐标轴的力则正交分解到坐标轴上，于是平衡条件F=0可写为F_x=0（表示x方向合力为零）；F_y=0（表示y方向合力为零），以此建立方程。

　（4）在较复杂的问题中，根据平衡条件列出的方程数若仍少于未知数个数时，常意味着尚需选取研究对象再建方程。倘若方程还不够，请注意最后一个关键方程常隐含在题给的几何条件中。

4、在中学的问题中，两个理想模型是常见的：（1）理想绳，绳上拉力处处相等，拉力沿着绳子方向。（2）理想二力杆。指不计质量且只在两端受力的直杆。二力杆对它物的力以及杆受它物的力总沿着杆子的方向。

三、典型例题讲评：

四、　　　　　有一个固定的倾角为30°的斜面，重直于斜面另外固定一块挡板p，在斜面和挡板之间放一个重量为G的圆球（图3），若所有接触面都光滑，求档板和斜面受到的压力的大小。

（思路） 1、问的是档板和斜面受的力，是否选挡板和斜面为研究对象？应选什么为研究对象？（注意应用牛顿第三定律）2、在本题中，球所受各力之间的夹角能否知道？各为多少？3、已知各力所对应的角及重力G，选用什么数学方法可较快得到解答？

[例2] 图4中AC和BC是两条很轻的直杆，在A和B处用光滑的铰链固定于竖直墙上，两杆在C处也由铰链连接，现于C处挂上重10N的灯具，若AC长0.9m，BC长1.2m，AB长0.6m，求AC杆和BC杆受到的力。

（思路） 1、与上例相同，可先求AC、BC杆施出的力。取灯还是取C点为研究对象？2、轻质杆又只是杆两端才有力作用，属二力杆，两杆施于C点的力方向如何？3、本题给出的是结构的长度尺寸，选用什么方法求解力较好？如何应用？

[例3] 如图5所示，在倾角α=37°的斜面上放着质量m=1kg的物块，对它施加一个水平力F=5N时，它恰能沿着斜面匀速下滑，为了使它能匀速沿着斜面上滑，水平力应变成多大？（g=10m/s²）

（思路）1、分析滑块在下滑和上滑时的受力情况后，发现受力超过三个，此时选用坐标法处理较好。根据课文P59[例题2]，坐标应如何选取？需要将哪些力正交分解到坐标轴上？2、在本题中，滑块下滑和上滑时所受摩擦力是否一样大？怎样求它们的值？3、对下滑和上滑情况，都按F_x=0和F_y=0布列方程求解水平力。

[例 4] 用细绳AC、BC共同悬挂重物P（图6），开始时，AC、BC与水平线夹角分别为α和β，且β>90°-α，现使BC绳与竖直墙的连结点B沿墙面下移，但C点的位置保持不变（BC绳的长度变小），那么，在连结点B移到过C的水平线位置的过程中，BC绳上的拉力将（　　）

A．逐渐变大　　　　　　　　 B．逐渐变小

C．先变大再变小　　　　　　 D．先变小再变大

（思路）1、按题意，AC绳与水平线夹角α不变，而BC绳与水平线夹角β从大于

90°-α起变小到零。2、求出BC绳上拉力与变量β间的函数关系再判断此拉力如何随β角的变化而变化。

[例5] 如图7，重G的球A放在光滑的竖直墙壁和斜面体B之间，斜面倾角为α，与A接触的表面光滑，与水平面接触处粗糙。球与斜面体处于静止状态，试求地面对斜面体的摩擦力。

（思路）1、要求斜面体受的力，首选研究对象取谁？2、列出力平衡方程后发觉方程数不够，该如何处理？

四、巩固练习：

1、图8中AO是一根拉长了的弹簧，BO是一条细线正好拉紧于水平位置。O点下悬挂的物体重5N。弹簧与竖直方向的夹角是30°，倔强系数是200N/m。问弹簧被拉长了多少？

2、如图9所示，质量为m的圆球被一个水平方向的力F顶在斜面上。斜面的倾角为α。若不考虑摩擦力时，球对斜面的正压力大小为多大？

3、氢气球重10N，空气对它的浮力为16N，由于受水平风力作用，使系住气球的轻绳与水平面夹成角度α=53°（图10），试求风力及绳上拉力的大小。

4、重50N的物体在20N的水平拉力作用下，恰能在水平地面上作匀速直线运动。若改用与水平方向成37°角的力拉物体，仍要使物体在水平地面上匀速滑动，所需拉力应为多大？

5、图11为一简易起重机，OA是钢绳，跟水平方向成30°角，OB是不计重量的撑杆，跟水平方向成60°角，B处用铰链与水平面固定，若提起货物重5.0×10³N，求钢绳和撑杆所受的力。

6、图12中斜面倾角为30°，与斜面底端固定在一起的平板P与斜面夹角也是

30°。嵌入其中的均匀球重10N时，斜面和平板受到的压力分别为多少？

　 7、有半径为R的一只半球体固定在水平面上（图13），半球体顶点C正上方距离为h处有钉子A，A上用长L的细线系住一只重量为G的小球B。如果半球体表面光滑，求小球对半球体表面的压力和细线受的拉力。

8、如图14，两条细绳OA和OB在O点系住，下挂物体P，图中α=60°，

β=45°，若绳OA及OB最多能承受的拉力分别是400N及500N，则所挂物体P的重量不能超过多少？

9、一条细线一端系于A点，另一端挂一重量为G的物体，在线上一点O另系一细线OB将重物拉到图15所示位置使线OA与竖直方向夹角为α,问OB朝什么方向拉时,OB线上拉力最小?此拉力多大?

　 10、如图16，竖直面内有固定的半圆金属环，其直径CD在水平面上，用细线OA、OB悬挂一个物体G，A、B都在环上，O在圆心处，现固定悬点A不动，使悬点B从圆环最高处P慢慢移至D点，在此过程中，绳OB上的拉力（　）

A．逐渐变大　　　　　　　　 B．逐渐变小

C．先变大再变小　　　　　　 D．先变小再变大

11、图17中均匀圆球重G，半径为R，长方形木块左侧离光滑的竖直墙距离是1.5R，若圆球能静止，则木块与水平面之间的摩擦力多大？

五、参考答案：

1、解：O点受G、T₁、T₂三力而平衡，由图18可知

则T₁==10N

　　对弹簧有F=T₁=K·△x，∴ △x=

2、解：如图19球受mg、F、N三力而平衡，且易知力N与竖直方向夹角是α，则

　 F=mgtgα

3、解：气球受G、T、F、Q、四力而平衡（图20）

　由F_y=0得　 T·sin53°+G-Q=0,即

　 0.8T=16-10,　 T=7.5N;

　由F_x=0得 T·cos53°=F, 　F=7.5×0.6=4.5N

4、解：由题意可知F=f=μmg,　 μ=

拉力改向后物体受力如图21

由F_y=0,　 N+F’sin37°-mg=0　 …………（1）

由F_x=0,　 F’cos37°-μN=0　 …………（2）

　解得F’≈19.2N

5、解：隔离O点，它受力G、T、N而平衡（图22）

　由题给条件可知α=30°,β=60°

　 F_y=0,　　………… （1）

　 F_x=0,　　　　………… （2）

解得 T=G=5×10³N， N=G=5×10³N

杆受压力为N的反作用，大小是5×10³N

绳受拉力为T的反作用，大小是5×10³N

6、解：球受重力G，斜面支持力N，平板压力Q如图23，由题给条件可知图中

α=30°β=60°

　由正弦定理，

　解得 N=G=10N；

　同理，　 Q=G=10N

斜面和板受的压力分别为10N和10N。

7、解：球受G、T、N而平衡，T和N的合力F与mg等量反向（图24）

　图中△AOB∽△FBN,对应边成比例。

　 ∴

又　

8、解：设OA、OB绳所受拉力分别为T₁和T₂，由力的分解易知T₁>T₂，若T₂取500N时，T₁>400N，OA绳要断。所以OA绳受最大力400N时，所挂重量为允许的最大值。

　 T₁·sin60°+T₂·sin45°=G …… （1）

　 T₁·cos60°=T₂cos45°　　 …… （2）

当T₁取400N时，G=546.4N

9、解：O点受力如图25，设OB线与OA线夹角为β(即图中力F和T间的夹角)

　由拉密原理，，整理得F=

∴G及α为常量，故β=90°时，F有最小值F_min=G·sinα

10、解：在任一位置，设OB线与竖直方向夹角为β，O点受力如图26，图中角α为常量

，T₂=

当β=90°-α时，T₂有最小值G sinα

β从0°→90°-α时，随β↑ T₂↓；

β从 90°-α→90°时，随β↑T₂↑　　选D。

11、解：隔离球，受力如图27（a），图中P点是球与木块接触点，由题给几何条件可知α=30°

　则N·cos30°=G, N=

　隔离木块，受力如图27（b），图中N’=N,则

　　 Nsin30°=f　 f=

六、附录

[例1]　　　　解：选球为研究对象，受力情况如图28，由题给条件易知图中α=90°，

β=150°，γ=120°

　则　，Q=G·sin150°=

　　 N=G·sin120°=G

档板受的压力是Q的反作用，故Q’=

斜面受的压力是N的反作用，故N’=G

(讲评)1、在静力学问题中，常常是先求一物施出的力才知道它受的力，牛顿第三定律是经常要用的。2、物体受三力而平衡，由题给条件容易确定各力间角度时，选用拉密原理解题较好。

[例2] 解：取C点为研究对象，它受G、T、N三力而平衡，则T与N的合力R与G等量反向（图29）

∵　 △RCN∽△ABC

∴　 =20N;

注意到△RCN中表示力T,则=1.5×10=15N

BC、AC受的力分别是N和T的反作用力。

故BC杆受压力20N，AC杆受拉力15N。

（讲评）1、隔离重物不能得到要求的力，应取C点为研究对象讨论它的平衡问题。取结构中一点来研究静力学情况是常用的方法；2、在已知模型结构的几何尺寸情况中，常需用几何方法求解问题。

[例3] 解：下滑时物块受力情况如图30（a）

平行斜面方向上有 Fcos37°+f=mgsin37°,解得f=2N

重直斜面方向上有N=Fsin37°+mgcos37°=11N.

　则μ=

　上滑时物块受力如图30（b）

　平行斜面方向：F’cos37°=mgsin37°+f’

垂直斜面方向：N=F’sin37°+mgcos37°,又有f’=μN

解得F’=10.8N

（讲评）1、由于F的变化，导致正压力变化引起滑动摩擦力变化，是力学问题常见的一种情况，要注意通过求动摩擦因数μ而得到后来的摩擦力。误认为滑动摩擦力前后大小相同是最易犯的毛病；2、受力在四个以上时，通常选用坐标法解题，在斜面问题中又通常取平行斜面方向为x轴，垂直斜面方向为y轴。

[例4]解：取C点为研究对象，它受G、T₁、T₂三力而平衡（图31），则有

∵Gcosα为常量，　 ∴β=90°-α时，T₂最小

β从大于90°-αβ=90°-α时，T₂↓ ；β从90°-α0时，T₂↑

应选D

（讲评）1、找到一个力的数学表达式才能对它的变化作出精确描述，这是常用的解题方法。2、本题还有一个思考方法：三力互相平衡时，一定能组成一只封闭的矢量三角形，本题中重力G大小、方向确定，T₁的方向确定，则T₁、T₂、G组成力三角形的情况如图32，从图中很直观地看到随T₂与水平线夹角β变小，力T₂先变小再变大。（当然，也容易看到T₁的值逐渐变大）

[例5]解：隔离斜面体，受力如图33（a），由F_x=0,得Nsinα=f (1)

　　再隔离小球，受力如图33（b），由F_y=0,得N’cosα=G　 (2)

　　 N’是N的反作用，则（评讲）1、在用坐标法解题时，由F_x=0和F_y=0一般可贡献两个方程，但视问题需要不是两个方程都要用到，如本题对斜面体只用到F_x=0，对小球只用到F_y=0.

　 2、隔离一物，所有平衡条件都用上了，方程还不够，常常要另取研究对象。这也是解力学题常用的思路。

　 3、本题还可这样思考：将球和斜面作整体研究，水平方向上有墙对球的弹力与斜面受的摩擦力等量反向，即R=f;再取小球研究，易知R=G·tgα，更为简洁。

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