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四階第一類切比雪夫低通濾波器的頻率響應圖

切比雪夫濾波器（又譯車比雪夫濾波器）是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器。在通帶波動的為「I型切比雪夫濾波器」，在阻帶波動的為「II型切比雪夫濾波器」。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應的幅頻特性不如後者平坦。切比雪夫濾波器和理想濾波器的頻率響應曲線之間的誤差最小，但是在通頻帶內存在幅度波動。

這種濾波器來自切比雪夫多項式，因此得名，用以記念俄羅斯數學家巴夫尼提·列波維其·切比雪夫（Пафнутий Львович Чебышёв）。

[編輯] 特性

[編輯] I型切比雪夫濾波器

I型切比雪夫濾波器最為常見。

n階第一類切比雪夫濾波器的幅度與頻率的關係可用下列公式表示：

G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}

其中：

  • | ε | < 1
  • 而|H(\omega_0)| = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}} 是濾波器在截止頻率ω0的放大率 (注意: 常用的以幅度下降3分貝的頻率點作為截止頻率的定義不適用於切比雪夫濾波器!)
  • T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) 是 n階切比雪夫多項式：
T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \cos\left(n\cdot\arccos\frac{\omega}{\omega_0}\right); 0 \le \omega \le \omega_0
T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \cosh\left(n\cdot \operatorname{arccosh}\frac{\omega}{\omega_0}\right); \omega > \omega_0

或:

T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = a_0 + a_1\frac{\omega}{\omega_0} + a_2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 +\, \cdots\, + a_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^n; 0 \le \omega \le \omega_0
T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \frac{ \left(\frac{\omega}{\omega_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 - 1}\right)^n + \left(\frac{\omega}{\omega_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 - 1}\right)^{-n} }{2}; \omega > \omega_0

切比雪夫濾波器的階數等於此濾波器的電子線路內的電抗元件數。

切比雪夫濾波器的幅度波動 = 20 \log_{10} \sqrt{1+\epsilon^2}分貝

當 ε = 1,切比雪夫濾波器的幅度波動= 3分貝。

如果需要幅度在在阻頻帶邊上衰減得更陡峭，可允許在複平面的 jω軸上存在零點。但結果會使通頻帶內振幅波動較大，而在阻頻帶內對信號抑制較弱。 這種濾波器叫橢圓函數濾波器或考爾濾波器。

[編輯] II型切比雪夫濾波器

也稱倒數切比雪夫濾波器，較不常用，因為頻率截止速度不如I型快，也需要用更多的電子元件。II型切比雪夫濾波器在通頻帶內沒有幅度波動，只在阻頻帶內有幅度波動。

II型切比雪夫濾波器的轉移函數為：

\left | H( \Omega ) \right | ^2 = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\epsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )}}}

參數 ε 與 阻頻帶的 衰減度 γ 有如下關係：

\epsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0.1\gamma1}}}- 分貝。

5分貝衰減度相當於ε = 0.6801; 10分貝衰減度相當於 ε = 0.3333。

截止頻率 fC = ωC/2 π。

-3分貝頻率fH 和截止頻率 fC 有如下關係：

f_H = f_C \cosh \left(\frac{1}{n} \cosh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)

[編輯] 使用範圍

  • 如果需要快速衰減而允許通頻帶存在少許幅度波動，可用第一類切比雪夫濾波器；如果需要快速衰減而不允許通頻帶存在幅度波動，可用第二類切比雪夫濾波器。

[編輯] 與其他濾波器的比較

下圖比較四種同階低通濾波器：（左上）巴特沃斯濾波器、（右上）I型切比雪夫濾波器、（左下）II型切比雪夫濾波器（右下）橢圓函數濾波器。

兩類切比雪夫濾波器比巴特沃斯濾波器陡峭； 但不如橢圓函數濾波器，然而後者幅度波動較大。

[編輯] 參考

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