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Butterworth-Filter sind kontinuierliche Frequenzfilter, die so ausgelegt sind, dass der Frequenzgang unterhalb der Grenzfrequenz ωg möglichst lange horizontal verläuft. Erst kurz vor dieser Grenzfrequenz soll die Übertragungsfunktion abnehmen und in die Verstärkungsabnahme von n·20dB pro Frequenzdekade übergehen (n ist die Ordnung des Butterworth-Filters).
Das Bode-Diagramm eines Butterworth-Tiefpassfilters erster Ordnung
Die Dämpfung bei der Grenzfrequenz beträgt 3dB, das heißt ein
Signal mit der Grenzfrequenz wird um den Faktor 
abgeschwächt. Butterworth-Filter haben sowohl im Durchlassbereich als
auch im Sperrbereich einen gleichmäßigen (glatten) Verlauf der
Übertragungsfunktion.
Benannt wurde der Butterworth-Filter nach dem britischen Ingenieur Stephen Butterworth, der diese Art von Filter erstmals beschrieb [1].
Butterworth-Tiefpassfilter der Ordnungen 1 bis 5
Beispiel: Butterworth-Filter 2. Ordnung Tiefpass, realisiert als Sallen-Key-Filter.
Übertragungsfunktion [Bearbeiten]
Daraus ergibt sich als Forderung an die Übertragungsfunktion:
mit
- A0 Gleichspannungsverstärkung
auf Grenzfrequenz normierte Frequenz
n Ordnung des Filters
Durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Übertragungsfunktion ergeben sich die Koeffizienten des Butterworth-Filters.
Koeffizienten [Bearbeiten]
Bringt man die Übertragungsfunktion in die normierte Form (
):
![A[P] = \frac{A_0}{\prod_{i} (1 + a_i P + b_i P^2)}](https://imageproxy.pixnet.cc/imgproxy?url=https://upload.wikimedia.org/math/d/e/d/deda914f69eb813a7e2a539603499216.png "A[P] = \frac{A_0}{\prod_{i} (1 + a_i P + b_i P^2)}")
ergeben sich für die Koeffizienten ai und bi folgende Beziehungen:
Ordnung n des Filters gerade:
![b_i = 1 \](https://imageproxy.pixnet.cc/imgproxy?url=https://upload.wikimedia.org/math/2/5/1/2515edf6beef4480a6c352609efb8a3e.png "b_i = 1 \")
Ordnung n des Filters ungerade:
![a_1 = 1 \](https://imageproxy.pixnet.cc/imgproxy?url=https://upload.wikimedia.org/math/e/1/c/e1c64f645b9d52e0d76c79a98c8e19c7.png "a_1 = 1 \")
![b_1 = 0 \](https://imageproxy.pixnet.cc/imgproxy?url=https://upload.wikimedia.org/math/8/1/2/812fd189d5688f4d358a49891f82aca7.png "b_1 = 0 \")
Eigenschaften [Bearbeiten]
Das Butterworth-Filter besitzt folgende Eigenschaften:
- linearer Frequenzverlauf im Durchlassbereich
- schnelles Abknicken bei der Grenzfrequenz, verbessert sich mit der Ordnung
- beträchtliches Überschwingen bei der Sprungantwort, verschlechtert sich mit der Ordnung
Filterrealisierung [Bearbeiten]
Das Butterworth-Filter mit einer gegebenen Übertragungsfunktion kann in folgender Form realisiert werden:
Das k-te Element ist gegeben mit:
![C_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]](https://imageproxy.pixnet.cc/imgproxy?url=https://upload.wikimedia.org/math/e/9/1/e912e090b0e30cc8a393c8ea579be580.png "C_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]")
für k ungerade
![L_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]](https://imageproxy.pixnet.cc/imgproxy?url=https://upload.wikimedia.org/math/4/7/d/47d0b973afc55a9ca878725d302444ff.png "L_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]")
für k gerade
In der digitalen Signalverarbeitung können Butterworth-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden.
Normalisierte Butterworth-Polynome [Bearbeiten]
Die Butterworth-Polynome werden normalerweise geschrieben als komplex konjugierte Pole s1 und sn. Die Polynome sind zusätzlich um den Faktor ωc=1 normalisiert. Die normalisierten Butterworth-Polynome haben somit die folgende Form:
![B_n(s)=\prod_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right]](https://imageproxy.pixnet.cc/imgproxy?url=https://upload.wikimedia.org/math/a/d/4/ad4f4716d76b3e3139307406c199029a.png "B_n(s)=\prod_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right]")
für n gerade
![B_n(s)=(s+1)\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right]](https://imageproxy.pixnet.cc/imgproxy?url=https://upload.wikimedia.org/math/0/1/0/0102df341d364d5ed26a0addf6d6ba66.png "B_n(s)=(s+1)\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right]")
für n ungerade
Auf 4 Dezimalziffern genau lauten Sie:
n
Faktoren der Polynome Bn(s)
1
(s + 1)
2
3
(s + 1)(s2 + s + 1)
4
(s2 + 0,7654s + 1)(s2 +
1,8478s + 1)
5
(s + 1)(s2 + 0.6180s +
1)(s2 + 1.6180s + 1)
6
(s2 + 0,5176s + 1)(s2 +
1,4142s + 1)(s2 + 1,9319s + 1)
7
(s + 1)(s2 + 0,4450s +
1)(s2 + 1,2470s + 1)(s2 +
1,8019s + 1)
8
(s2 + 0,3902s + 1)(s2 +
1,1111s + 1)(s2 + 1,6629s +
1)(s2 + 1,9616s + 1)
Einzelnachweise [Bearbeiten]
- ↑ Stephen Butterworth: On the Theory of Filter Amplifiers In: Wireless Engineer, Band 7, 1930, Seiten 536–541
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