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個人分類：學術研究

Feb 01 Fri 2008 17:22
Normalenvektor www.tool-tool.com

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In der Geometrie ist ein Normalenvektor ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Geraden, Kurve, Ebene, (gekrümmten) Fläche oder einer höherdimensionalen Verallgemeinerung eines solchen Objekts steht. Die Gerade, die diesen Vektor als Richtungsvektor besitzt, heißt Normale. Ein Normaleneinheitsvektor ist ein Normalenvektor der Länge 1 (ein sogenannter normierter Vektor).

In diesem Artikel wird zunächst der Fall der Geraden (in einer Ebene) und der Ebene (im dreidimensionalen Raum) behandelt (Lineare Algebra und analytische Geometrie), dann der Fall der ebenen Kurve und der Fläche (Differentialgeometrie).

Lineare Algebra und analytische Geometrie [Bearbeiten]

In diesem Abschnitt werden die Variablen für Vektoren, wie in der Schulmathematik üblich, durch Vektorpfeile gekennzeichnet.

Normale und Normalenvektor einer Geraden [Bearbeiten]

Ein Normalenvektor einer Geraden $g$ in der Ebene ist ein (vom Nullvektor verschiedener) Vektor, der senkrecht auf dieser Geraden steht, also der Richtungsvektor einer Geraden, die senkrecht auf $g$ steht (Orthogonale oder Normale zu $g$ ).

Hat $g$ den Richtungsvektor $\vec v = (a, b)$ , so sind die beiden Vektoren $( - b, a)$ und $(b, - a)$ Normalenvektoren. Durchläuft man die Gerade in der Richtung von $\vec v$ , so weist $( - b, a)$ nach links und $(b, - a)$ nach rechts.

Ist die Gerade in der Steigungsform durch die Gleichung

y = m x + c

gegeben, so ist der Vektor $(1, m)$ ein Richtungsvektor der Geraden und $( - m,1)$ und $(m, - 1)$ sind Normalenvektoren. Für $m \ne 0$ hat also jede Normale die Steigung $- \tfrac 1m$ . Ist $m = 0$ , also $g$ horizontal, so ist jede Normale vertikal, hat also eine Gleichung der Form $x = a$ .

Ist die Gerade in der allgemeinen Form

a x + b y = d

gegeben, so ist $(a, b)$ ein Normalenvektor.

Hat man einen Normalenvektor, so erhält man einen Normaleneinheitsvektor, indem man diesen durch seine Länge (Norm, Betrag) dividiert (den Vektor also normiert). Einen zweiten Normalenvektor erhält man durch Multiplikation mit $- 1$ . Aus einem Normalenvektor erhält man alle anderen durch Multiplikation mit einer reellen Zahl ungleich null.

Normale und Normalenvektor einer Ebene [Bearbeiten]

Ein Normalenvektor einer Ebene $E$ im dreidimensionalen Raum ist ein (vom Nullvektor verschiedener) Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht, also der Richtungsvektor einer Geraden, die senkrecht auf $E$ steht (Orthogonale oder Normale zu $g$ ).

Ist die Ebene in der Normalform

a x + b y + c z = d

gegeben, so ist $(a, b, c)$ ein Normalenvektor.

Ist $E$ durch zwei aufspannende Vektoren $\vec u = (u_1, u_2, u_3)$ und $\vec v = (v_1, v_2, v_3)$ gegeben (Punkt-Richtungs-Form oder Parameterform), führt die Bedingung, dass der Normalenvektor $\vec n = (n_1, n_2, n_3)$ senkrecht auf $\vec v$ und $\vec u$ steht, ein lineares Gleichungssystem für die Komponenten $n 1, n 2, n 3$ von $\vec n$ :

$\begin{align} u_1 \, n_1 + u_2 \, n_2 + u_3 \, n_3 &= 0 \\ v_1 \, n_1 + v_2 \, n_2 + v_3 \, n_3 &= 0 \end{align}$

Jede von $(0,0,0)$ verschiedene Lösung liefert einen Normalenvektor.

Eine andere Möglichkeit, Normalenvektoren zu bestimmen, bietet das Kreuzprodukt:

$\vec u \times \vec v = \begin{pmatrix} u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \\ u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3 \\ u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1 \end{pmatrix}$

ist ein Vektor, der senkrecht auf $\vec v$ und $\vec w$ steht, und $\vec u, \vec v, \vec u \times \vec v$ bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

Hat $E$ die Gleichung

z = a x + b y + c

,

so ist $( - a, - b,1)$ ein nach oben weisender und $(a, b, - 1)$ ein nach unten weisender Normalenvektor.

Wie im Fall der Geraden in der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor einen Normaleneinheitsvektor, indem man ihn durch seine Länge dividiert, einen zweiten durch Multiplikation mit $- 1$ und alle andern Normalenvektor durch Multiplikation mit reellen Zahlen.

Eine Ebene wird durch einen Normalenvektor sowie einen auf der Ebene liegenden Punkt eindeutig bestimmt, siehe Normalenform und Hessesche Normalform.

Normalenvektoren von Kurven und Flächen [Bearbeiten]

ebene Kurven [Bearbeiten]

In der Analysis und in der Differentialgeometrie ist der Normalenvektor zu einer ebenen Kurve (in einem bestimmten Punkt) ein Vektor, der auf der Tangente in diesem Punkt orthogonal (senkrecht) steht. Die Gerade in Richtung des Normalenvektors durch diesen Punkt heißt Normale.

Ist die Kurve als Graph einer differenzierbaren Funktion $f$ gegeben, so hat die Tangente im Punkt $p = (x 0, f (x 0))$ die Steigung $m_t = f'(x_0)\,$ , die Steigung der Normalen beträgt also

$m_n = -\frac 1{m_t} = - \frac 1 {f'(x_0)} \,.$

Die Normale im Punkt $p = (x 0, f (x 0))$ ist dann durch die Gleichung

y = f (x 0) + m n (x - x 0),

also durch

$y = f(x_0) - \frac 1{f'(x_0)} (x-x_0)$

gegeben.

Ist die ebene Kurve in Parameterform gegeben, $c (t) = (c 1 (t), c 2 (t))$ , so ist $\dot c(t) = (\dot c_1(t), \dot c_2(t))$ ein Tangentialvektor im Punkt $c (t)$ und $(\dot c_2(t), -\dot c_1(t))$ ein nach rechts weisender Normalenvektor. Hier bezeichnet, wie in der Differentialgeometrie üblich, der Punkt die Ableitung nach dem Kurvenparameter.

Bei Raumkurven bilden die Normalenvektoren in einem Punkt (wie im Fall der Geraden im Raum) einen zweidimensionalen Untervektorraum. In der elementaren Differentialgeometrie wählt man einen Einheitsvektor aus, der in die Richtung zeigt, in die die Kurve gekrümmt ist. Diesen nennt man Hauptnormalen(einheits)vektor, siehe Frenetsche Formeln.

Flächen im dreidimensionalen Raum [Bearbeiten]

Zur Veranschaulichung des Normalenvektors

Entsprechend ist der Normalenvektor einer gekrümmten Fläche (Topologie) in einem Punkt der Normalenvektor der Tangentialebene in diesem Punkt.

Ist die Fläche durch die Parameterdarstellung

$F\colon U \subset \R^n \to \R^3, \quad (u,v) \mapsto F(u,v)$

gegeben, so spannen die beiden Vektoren

$F_u(u,v) := \tfrac {\partial F} {\partial u}(u,v)$ und $F_v := \tfrac {\partial F} {\partial v}(u,v)$

die Tangentialebene im Punkt $F (u, v)$ auf. (Hier wird vorausgesetzt, dass die Fläche bei $(u, v)$ regulär ist, also dass $F u (u, v)$ und $F u (u, v)$ linear unabhängig sind.) Ein Normalenvektor im Punkt $F (u, v)$ ist ein Vektor, der senkrecht auf $F u (u, v)$ und $F u (u, v)$ steht, z. B. der durch das Kreuzprodukt gegebene und dann normierte Hauptnormalenvektor

$N(u,v) := \frac{F_u(u,v) \times F_v(u,v)}{\left|F_u(u,v) \times F_v(u,v)\right|}\,.$

Hier bezeichnen die Betragsstriche die euklidische Norm des Vektors.

Ist die Fläche implizit durch eine Gleichung gegeben,

g (x, y, z) = 0

,

wobei $g \colon \R^3 \to \R$ eine differenzierbare Funktion ist, so ist der Gradient

$\operatorname {grad} g(x,y,z) = \left(\tfrac{\partial g}{\partial x}(x,y,z), \tfrac{\partial g}{\partial y}(x,y,z), \tfrac{\partial g}{\partial z}(x,y,z)\right)$

ein Normalenvektor der Fläche im Punkt $(x, y, z)$ (vorausgesetzt, dass er dort nicht verschwindet).

Ist die Fläche als Graph einer differenzierbaren Funktion $f \colon \R^2 \to \R$ gegeben, so ist

$\big(-\tfrac{\partial f}{\partial x}(x,y), -\tfrac{\partial f}{\partial y}(x,y), 1\big)$

ein nach oben weisender Normalenvektor im Punkt $p = (x, y, f (x, y))$ . Dies erhält man, indem man verwendet, dass die Abbildung $F (x, y) = (x, y, F (x, y))$ eine Parametrisierung ist oder dass die Fläche durch die Gleichung

g (x, y, z): = z - f (x, y) = 0

dargestellt wird.

Verallgemeinerungen [Bearbeiten]

Der Begriff des Normalenvektors lässt sich verallgemeinern auf

affine Unterräume (verallgemeinerte Ebenen) in euklidischen Räumen höherer Dimension (Mathematik) (insbesondere auf Hyperebenen),
Flächen, Hyperflächen und Untermannigfaltigkeiten in euklidischen Räumen höherer Dimension,
Flächen, Hyperflächen und Untermannigfaltigkeiten von Riemannsichen Mannigfaltigkeiten,
Nichtglatte Objekte, wie konvexe Körper und rektifizierbare Mengen.

Anwendungen [Bearbeiten]

Im Bereich der Computergrafik werden Normalenvektoren genutzt, um festzustellen, ob eine Fläche dem Benutzer zugewandt ist oder nicht. Der Einsatz von Normalenvektoren erlaubt dadurch Back Face Culling.

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Feb 01 Fri 2008 15:19
Normalvektor www.tool-tool.com

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En normalvektor er en vektor der er normal i forhold til en anden vektor. I planen og det tredimensionale rum vil dette sige vinkelret på den anden vektor, men begrebet kan let generaliseres til flere dimensioner end tre.

I tre dimensioner kan man for to vektorer $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ og $\vec{b}=(b_1, b_2, b_3)$ beregne en fælles normalvektor ved hjælp af deres krydsprodukt:

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_1 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_1 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$

Denne normalvektoren har en længde der er lig arealet af det parallelogram som de to vektorer udspænder. Se en nærmere forklaring på siden om krydsprodukt.

[redigér] Planens ligning

En normalvektor kan benyttes i forbindelse med bestemmelse af en ligning for en plan i tre dimensioner. En plan kan beskrives som en mængde af uendeligt mange punkter bredt ud på en uendelig stor flade, og man kan således beskrive planen som alle de punkter $P$ hvor skalarproduktet mellem normalvektoren og vektor fra et andet punkt i planen $P 0$ til dette punkt $P$ til er nul. Dette kommer af at at normalvektoren står vinkelret på planen, samt at skalarproduktet mellem to vinkelrette vektorer (en vinkel på 90 grader) giver nul, da $cos(90) = 0$ . Dette er altså en helt generel beskrivelse af samtlige punkter i en uendeligt stor flade, da der ikke er lagt nogle yderligere bånd på denne definition. Matematisk kan dette udtrykkes ved:

$\{ P \mid \vec{n} \cdot \overrightarrow{P_0 P} = 0\}$

Hvis vi definerer $P = (x, y, z)$ og $P 0 = (x 0, y 0, z 0)$ , og og normalvektoren som $\vec{n} = (a,b,c)$ , bliver $\overrightarrow{P_0P} = (x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ , og ud fra definitionen af skalarproduktet samt førnævnte definition på planen bliver planens ligning:

$\vec{n} \cdot \vec{P_0P} = a \cdot (x - x_0) + b \cdot (y - y_0) + c \cdot (z - z_0) = ax + by + cz +d = 0$ ,

hvor $d = - a \cdot x_0 - b \cdot y_0 - c \cdot z_0$ . Man gør altså brug af normalvektorens koordinater når man beskriver planens med en ligning.

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Feb 01 Fri 2008 13:24
Normála www.tool-tool.com

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Normála daného n−1 dimenzionálního podprostoru v n-dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor. V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku, v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu.

Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n−1 rozměrných útvarů - tzv. nadploch. Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy.

Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce. V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor, např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu.

[editovat] Normála plochy

Je-li rovina dána rovnicí $a x + b y + c z + d = 0$ , potom je její normálový vektor n roven $(a, b, c)$ .

Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi

$x = x(r,s),\,$

$y = y(r,s),\,$

$z = z(r,s),\,$

potom je vektor normály až na znaménko udán jako

$\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} = \left|\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}, & \frac{\partial y}{\partial r}, & \frac{\partial z}{\partial r}\\ \frac{\partial x}{\partial s}, & \frac{\partial y}{\partial s}, & \frac{\partial z}{\partial s}\\ \mathbf{e}_1, & \mathbf{e}_2, & \mathbf{e}_3\end{matrix}\right|,$

což má přímé zobecnění v n-rozměrném prostoru:

$\mathbf{n} = \left|\begin{matrix} \frac{\partial x_1}{\partial p_1}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_1}\\ \dots, & \dots, & \dots \\ \frac{\partial x_1}{\partial p_{n-1}}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_{n-1}}\\ \mathbf{e}_1, & \dots, & \mathbf{e}_n\end{matrix}\right|,$

kde $p_1,\dots,p_{n-1}$ jsou parametry plochy.

Je-li plocha dána jako množina bodů $(x, y, z)$ splňujících rovnici : $F (x, y, z) = 0$ , potom určíme vektor normály až na znaménko jako gradient F:

$\mathbf{n} = \nabla F(x,y,z)$ .

[editovat] Normála křivky

Všechny přímky, které prochází daným bodem křivky $\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)$ , kde $s$ je oblouk křivky, a jsou kolmé na tečný vektor $\mathbf{t}$ v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě.

Hlavní (první) normálou křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem $\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}$ .

Jednotkový vektor $\mathbf{n}$ , který má stejný směr jako vektor $\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}$ , se nazývá jednotkový vektor hlavní (první) normály. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí $\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{t}}{\mathrm{d}s^2}\neq 0$ .

Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí Frenetových vzorců vyjádřit jako

$\mathbf{n} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}$ ,

kde $k 1$ je tzv. první křivost.

Vektory $\mathbf{t}$ a $\mathbf{n}$ jsou vzájemně kolmé, tzn. $\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0$ .

Pokud parametrem křivky není její oblouk $s$ , ale obecný parametr $t$ , tzn. křivka je dána rovnicí $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ , pak je jednotkový normálový vektor $\mathbf{n}$ dán vztahem

$\mathbf{n} = \frac{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right) \cdot \left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right)}}$ ,

kde $c = \frac{1}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}$ pokud platí $\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\neq 0$ a $\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\neq 0$ .

[editovat] Související články

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Feb 01 Fri 2008 13:14
法線 www.tool-tool.com

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三維平面的法線是垂直於該平面的三維向量。曲面在某點 p 處的法線為垂直於該點切平面的向量。

多邊形及其兩個法向量之一

[編輯] 法線的計算

對於象三角形這樣的多邊形來說，多邊形兩條相互不平行的邊的叉積就是多邊形的法線。

用方程 $a x + b y + c z = d$ 表示的平面，向量 $(a, b, c)$ 就是其法線。

如果 S 是曲線坐標 x(s, t) 表示的曲面，其中 s 及 t 是實數變數，那麼用偏導數叉積表示的法線為

${\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}.$

如果曲面 S 用隱函數表示，點集合 $(x, y, z)$ 滿足 $F (x, y, z) = 0$ ，那麼在點 $(x, y, z)$ 處的曲面法線用梯度表示為

$\nabla F(x, y, z).$

如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足Lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。

[編輯] 法線的唯一性

曲面法線的法向不具有唯一性；在相反方向的法線也是曲面法線。定向曲面的法線通常按照右手定則來確定。

[編輯] 應用

曲面法線在定義向量場的曲面積分中有著重要應用。
在三維電腦圖形學中通常使用曲面法線進行光照計算；參見Lambert's cosine law。

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Feb 01 Fri 2008 10:54
温間圧造www.tool-tool.com

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形状，加工精度，生産性等の面で、冷間でも熱間でも圧造が難しいような場合、オーステナイト系ステンレスボルトの非磁性維持，工具消耗減，加工硬化防止による後加工の容易さを目的とした場合に使用される。冷間圧造と熱間圧造の中間の圧造加工方法で、電気抵抗加熱機で瞬間加熱し、材料を再結晶温度以下の中間温度２００～４００ ℃（材質により異なる）に加熱して塑性加工性を高め、連続的に圧造する方法。

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Jan 31 Thu 2008 13:16
Torno www.tool-tool.com

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Torno paralelo moderno.

Se denomina torno (del latín tornus, y este del griego τόρνος, giro, vuelta)^[1] a un conjunto de máquinas herramienta que permiten mecanizar piezas de forma geométrica de revolución. Estas máquinas-herramienta operan haciendo girar la pieza a mecanizar (sujeta en el cabezal o fijada entre los puntos de centraje) mientras una o varias herramientas de corte son empujadas en un movimiento regulado de avance contra la superficie de la pieza, cortando la viruta de acuerdo con las condiciones tecnológicas de mecanizado adecuadas. Desde el inicio de la Revolución industrial, el torno se ha convertido en una máquina básica en el proceso industrial de mecanizado.

El torno es una máquina que trabaja en el plano porque solo tiene dos ejes de trabajo, normalmente denominados Z y X. La herramienta de corte va montada sobre un carro que se desplaza sobre unas guías o rieles paralelos al eje de giro de la pieza que se tornea, llamado eje Z; sobre este carro hay otro que se mueve según el eje X, en dirección radial a la pieza que se tornea, y puede haber un tercer carro llamado charriot que se puede inclinar, para hacer conos, y donde se apoya la torreta portaherramientas. Cuando el carro principal desplaza la herramienta a lo largo de la pieza produce torneados cilíndricos, y cuando el carro transversal se desplaza de forma perpendicular al eje de simetría de la pieza se realiza la operación denominada refrentado. Los tornos copiadores, automáticos y de Control Numérico llevan sistemas que permiten trabajar a los dos carros de forma simultánea, consiguiendo cilindrados cónicos y esféricos. Los tornos paralelos llevan montado un tercer carro, de accionamiento manual y giratorio, llamado charriot, montado sobre el carro transversal. Con el charriot inclinado a los grados necesarios es posible mecanizar conos. Encima del charriot va fijada la torreta portaherramientas.

Historia [editar]

Tornos antiguos [editar]

Jacques de Vaucanson, inventor de tornos.

Con la posibilidad de poder cilindrar y dar forma a diversos utensilios, instrumentos y piezas ornamentales de madera y hueso, el hombre inventó y desarrolló el proceso de torneado.

El torno es una de las primeras máquinas inventadas remontándose su uso quizá al año 1000 y con certeza al 850 adC. La imagen más antigua que se conserva de los primitivos tornos es un relieve hallado en la tumba de Petosiris, un sumo sacerdote egipcio que murió a fines del s. I1250 nació el torno de pedal y pértiga flexible, que representó un gran avance sobre el accionado por arquillo, puesto que permitía dejar las manos del operario libres para manejar la herramienta. A comienzos del siglo XV se introdujo un sistema de transmisión por correa, que permitía usar el torno en rotación continua. A finales del siglo XV, Leonardo da Vinci trazó en su Códice Atlántico el boceto de varios tornos que no pudieron ser construidos entonces por falta de medios pero que sirvieron de orientación para futuros desarrollos.

Hacia 1480 el pedal fue combinado con un vástago y una biela. Con la aplicación de este mecanismo nació el torno de accionamiento continuo, lo que implicaba el uso de biela-manivela, que debía ser combinada con un volante de inercia para superar los puntos muertos.

Se inició el mecanizado de metales no férreos, como latón, cobre y bronce y, con la introducción de algunas mejoras, este torno se siguió utilizando durante varios siglos. En la primitiva estructura de madera se introdujeron elementos de fundición, tales como la rueda, los soportes del eje principal, contrapunto, apoyo de herramientas y, hacia el año 1586, el mandril ^[2] (una pieza metálica, cilíndrica, en donde se fija el objeto a tornear)

Tornos mecánicos [editar]

Torno paralelo de 1911

Al comenzar la Revolución Industrial en Inglaterra, durante el siglo XVII, se desarrollaron tornos capaces de dar forma a una pieza metálica. El desarrollo del torno pesado industrial para metales en el siglo XVIII hizo posible la producción en serie de piezas de precisión.

En la década de 1780 el inventor francés Jacques de Vaucanson construyó un torno industrial con un portaherramientas deslizante que se hacía avanzar mediante un tornillo manual. Hacia 1797 el inventor británico Henry Maudslay y el inventor estadounidense David Wilkinson mejoraron este torno conectando el portaherramientas deslizante con el 'husillo', que es la parte del torno que hace girar la pieza trabajada. Esta mejora permitió hacer avanzar la herramienta de corte a una velocidad constante. En 1820, el mecánico estadounidense Thomas Blanchard inventó un torno en el que una rueda palpadora seguía el contorno de un patrón para una caja de fusil y guiaba la herramienta cortante para tornear una caja idéntica al patrón, dando así inicio a lo que se conoce como torno copiador.

El torno revólver, desarrollado durante la década de 1840, incorpora un portaherramientas giratorio que soporta varias herramientas al mismo tiempo. En un torno revólver puede cambiarse de herramienta con sólo girar el portaherramientas y fijarlo en la posición deseada. Hacia finales del siglo XIX se desarrollaron tornos de revólver automáticos para cambiar las herramientas de forma automática. En 1833, Joseph Whitworth se instaló por su cuenta en Manchester. Sus diseños y realizaciones influyeron de manera fundamental en otros fabricantes de la época. En 1839 patentó un torno paralelo para cilindrar y roscar con bancada de guías planas y carro transversal automático, que tuvo una gran aceptación. Dos tornos que llevan incorporados elementos de sus patentes se conservan en la actualidad. Uno de ellos, construido en 1843, se conserva en el "Science Museum" de Londres. El otro, construido en 1850, se conserva en el "Birmingham Museum".

Fue J.G. Bodmer quien en 1839 tuvo la idea de construir tornos verticales. A finales del siglo XIX, este tipo de tornos eran fabricados en distintos tamaños y pesos. El diseño y patente en 1890 de la caja de Norton, incorporada a los tornos paralelos, dio solución al cambio manual de engranajes para fijar los pasos de las piezas a roscar.^[3]

Introducción del Control Numérico [editar]

Torno moderno de Control Numérico

El torno de control numérico es un ejemplo de automatización programable. Se diseñó para adaptar las variaciones en la configuración de los productos. Su principal aplicación se centra en volúmenes de producción bajos y medios. Uno de los ejemplos más importantes de automatización programable es el control numérico en la fabricación de partes metálicas. El control numérico (CN) es una forma de automatización programable en la cual el equipo de procesado se controla a través de números, letras y otros símbolos. Estos números, letras y símbolos están codificados en un formato apropiado para definir un programa de instrucciones para desarrollar una tarea concreta. Cuando la tarea en cuestión cambia, se cambia el programa de instrucciones. La capacidad de cambiar el programa hace que el CN sea apropiado para volúmenes de producción bajos o medios, dado que es más fácil escribir nuevos programas que realizar cambios en los equipos de procesado.

El primer desarrollo en el área del control numérico lo realizó el inventor norteamericano John T. Parsons (Detroit 1913-2007), junto con su empleado Frank L. Stulen, en la década de 1940. El concepto de control numérico implicaba el uso de datos en un sistema de referencia para definir las superficies de contorno de las hélices de un helicóptero. La aplicación del control numérico abarca gran variedad de procesos. Se dividen las aplicaciones en dos categorías:

Aplicaciones con máquina herramienta, tales como el taladrado, laminado, torneado, etc.
Aplicaciones sin máquina herramienta, tales como el ensamblaje, trazado e inspección.

El principio de operación común de todas las aplicaciones del control numérico es el control de la posición relativa de una herramienta o elemento de procesado con respecto al objeto a procesar.

Gestión económica del torneado [editar]

Euro

Cuando los ingenieros diseñan una máquina, un equipo o un utensilio, lo hacen mediante el acoplamiento de una serie de componentes de materiales diferentes y que requieren procesos de mecanizado para conseguir las tolerancias de funcionamiento adecuado.

La suma del coste de la materia prima de una pieza, el coste del proceso de mecanizado y el coste de las piezas fabricadas de forma defectuosa constituyen el coste total de una pieza.

Desde siempre el desarrollo tecnológico ha tenido como objetivo conseguir la máxima calidad posible de los componentes así como el precio más bajo posible tanto de la materia prima como de los costes de mecanizado.

Para reducir el coste de torneado y del mecanizado en general se ha actuado en los siguientes frentes:

Conseguir materiales cada vez mejor mecanizables, materiales que una vez mecanizados en blando son endurecidos mediante tratamientos térmicos que mejoran de forma muy sensible sus prestaciones mecánicas de dureza y resistencia principalmente.
Conseguir herramientas de mecanizado de una calidad extraordinaria que permite aumentar de forma considerable las condiciones tecnológicas del mecanizado, o sea, más revoluciones del cabezal del torno, más avance de trabajo de la herramienta y más tiempo de duración de su filo de corte.
Y finalmente conseguir tornos, más robustos, rápidos y precisos que consiguen reducir sensiblemente el tiempo de mecanizado así como conseguir piezas de mayor calidad y tolerancia más estrechas.

Para disminuir el índice de piezas defectuosas se ha conseguido automatizar al máximo el trabajo de los tornos, disminuyendo drásticamente el torneado manual, y construyendo tornos automáticos muy sofisticados o tornos guiados por ordenador que ejecutan un mecanizado de acuerdo a un programa establecido previamente.

Tipos de tornos [editar]

Actualmente se utilizan en las industrias de mecanizados los siguientes tipos de tornos que dependen de la cantidad de piezas a mecanizar por serie, de la complejidad de las piezas y de la envergadura de las piezas

Torno paralelo [editar]

Artículo principal: Torno paralelo

Caja de velocidades y avances de un torno paralelo

El torno paralelo o mecánico es el tipo de torno que evolucionó partiendo de los tornos antiguos cuando se le fueron incorporando nuevos equipamientos que lograron convertirlo en una de las máquina herramienta más importante que han existido. Sin embargo, en la actualidad este tipo de torno está quedando relegado a realizar tareas poco importantes, a utilizarse en los talleres de aprendices y en los talleres de mantenimiento para realizar trabajos puntuales o especiales.

Para la fabricación en serie y de precisión han sido sustituidos por tornos copiadores, revólver, automáticos y de CNC. Para manejar bien estos tornos se requiere la pericia de profesionales muy bien calificados, ya que el manejo manual de sus carros puede ocasionar errores a menudo en la geometría de las piezas torneadas

Torno copiador [editar]

Artículo principal: Torno copiador

Esquema funcional de torno copiador

Se llama torno copiador a un tipo de torno que operando con un dispositivo hidráulico y electrónico permite el torneado de piezas de acuerdo a las características de la misma siguiendo el perfil de una plantilla que reproduce el perfil de la pieza.

Este tipo de tornos se utiliza para el torneado de aquellas piezas que tienen diferentes escalones de diámetros, que han sido previamente forjadas o fundidas y que tienen poco material excedente. También son muy utilizados estos tornos en el trabajo de la madera y del mármol artístico para dar forma a las columnas embellecedoras. La preparación para el mecanizado en un torno copiador es muy sencilla y rápida y por eso estas máquinas son muy útiles para mecanizar lotes o series de piezas que no sean muy grandes.

Las condiciones tecnológicas del mecanizado son comunes a las de los demás tornos, solamente hay que prever una herramienta que permita bien la evacuación de la viruta y un sistema de lubricación y refrigeración eficaz del filo de corte de las herramientas mediante abundante aceite de corte o taladrina.

Torno revólver [editar]

Operaria manejando un torno revólver

Artículo principal: Torno revólver

El torno revólver es una variedad de torno diseñado para mecanizar piezas sobre las que sea posible el trabajo simultáneo de varias herramientas con el fin de disminuir el tiempo total de mecanizado. Las piezas que presentan esa condición son aquellas que, partiendo de barras, tienen una forma final de casquillo o similar. Una vez que la barra queda bien sujeta mediante pinzas o con un plato de garras, se va taladrando, mandrinando, roscando o escariando la parte interior mecanizada y a la vez se puede ir cilindrando, refrentando, ranurando, roscando y cortando con herramientas de torneado exterior.

La característica principal del torno revólver es que lleva un carro con una torreta giratoria de forma hexagonal que ataca frontalmente a la pieza que se quiere mecanizar. En la torreta se insertan las diferentes herramientas que realizan el mecanizado de la pieza. Cada una de estas herramientas está controlada con un tope de final de carrera. También dispone de un carro transversal, donde se colocan las herramientas de segar, perfilar, ranurar, etc.

También se pueden mecanizar piezas de forma individual, fijándolas a un plato de garras de accionamiento hidráulico.

Torno automático [editar]

Artículo principal: Torno automático

Se llama torno automático a un tipo de torno cuyo proceso de trabajo está enteramente automatizado. La alimentación de la barra necesaria para cada pieza se hace también de forma automática, a partir de una barra larga que se inserta por un tubo que tiene el cabezal y se sujeta mediante pinzas de apriete hidráulico.

Estos tornos pueden ser de un solo husillo o de varios husillos:

Los de un solo husillo se emplean básicamente para el mecanizado de piezas pequeñas que requieran grandes series de producción.
Cuando se trata de mecanizar piezas de dimensiones mayores se utilizan los tornos automáticos multihusillos donde de forma programada en cada husillo se va realizando una parte del mecanizado de la pieza. Como los husillos van cambiando de posición, el mecanizado final de la pieza resulta muy rápido porque todos los husillos mecanizan la misma pieza de forma simultánea.

La puesta a punto de estos tornos es muy laboriosa y por eso se utilizan principalmente para grandes series de producción. El movimiento de todas las herramientas está automatizado por un sistema de excéntricas y reguladores electrónicos que regulan el ciclo y los topes de final de carrera.

Un tipo de torno automático es el conocido como "tipo suizo", capaz de mecanizar piezas muy pequeñas con tolerancias muy estrechas.

Torno vertical [editar]

Artículo principal: Torno vertical

Torno vertical.

El torno vertical es una variedad de torno diseñado para mecanizar piezas de gran tamaño, que van sujetas al plato de garras u otros operadores y que por sus dimensiones o peso harían difícil su fijación en un torno horizontal.

Los tornos verticales tienen el eje dispuesto verticalmente y el plato giratorio sobre un plano horizontal, lo que facilita el montaje de las piezas voluminosas y pesadas. Es pues el tamaño lo que identifica a estas máquinas, permitiendo el mecanizado integral de piezas de gran tamaño.

En los tornos verticales no se pueden mecanizar piezas que vayan fijadas entre puntos porque carecen de contrapunta. Debemos tener en cuenta que la contrapunta se utiliza cuando la pieza es alargada, ya que cuando la herramienta esta arrancado la viruta ejerce una fuerza que puede hacer que flexione el material en esa zona y quede inutilizado. Dado que en esta maquina se mecanizan piezas de gran tamaño su unico punto de sujeción es el plato sobre el cual va apoyado. La manipulación de las piezas para fijarlas en el plato se hace mediante grúas de puente o polipastos.

Torno CNC [editar]

Torno CNC

Artículo principal: Torno CNC

El torno CNC es un tipo de torno operado mediante control numérico por computadora. Se caracteriza por ser una máquina herramienta muy eficaz para mecanizar piezas de revolución. Ofrece una gran capacidad de producción y precisión en el mecanizado por su estructura funcional y porque la trayectoria de la herramienta de torneado es controlada a traves del ordenador que lleva incorporado, el cual procesa las órdenes de ejecución contenidas en un software que previamente ha confeccionado un programador conocedor de la tecnología de mecanizado en torno. Es una máquina ideal para el trabajo en serie y mecanizado de piezas complejas.

Piezas de ajedrez mecanizadas en un torno CNC.

Las herramientas van sujetas en un cabezal en número de seis u ocho mediante unos portaherramientas especialmente diseñados para cada máquina. Las herramientas entran en funcionamiento de forma programada, permitiendo a los carros horizontal y transversal trabajar de forma independiente y coordinada, con lo que es fácil mecanizar ejes cónicos o esféricos así como el mecanizado integral de piezas complejas.

La velocidad de giro de cabezal portapiezas, el avance de los carros longitudinal y transversal y las cotas de ejecución de la pieza están programadas y, por tanto, exentas de fallos imputables al operario de la máquina. ^[4]

Otros tipos de tornos [editar]

Además de los tornos empleados en la industria mecánica, también se utilizan tornos para trabajar la madera, la ornamentación con mármol o granito.

El nombre de "torno" se aplica también a otras máquinas rotatorias como por ejemplo el torno de alfarero o el torno dental. Estas máquinas tienen una aplicación y un principio de funcionamiento totalmente diferentes de las de los tornos descritos en este artículo.

Estructura del torno [editar]

Torno paralelo en funcionamiento

El torno tiene cuatro componentes principales:

Bancada: sirve de soporte para las otras unidades del torno. En su parte superior lleva unas guías por las que se desplaza el cabezal móvil o contrapunto y el carro principal.
Cabezal fijo: contiene los engranajes o poleas que impulsan la pieza de trabajo y las unidades de avance. Incluye el motor, el husillo, el selector de velocidad, el selector de unidad de avance y el selector de sentido de avance. Además sirve para soporte y rotación de la pieza de trabajo que se apoya en el husillo.
Contrapunto: el contrapunto es el elemento que se utiliza para servir de apoyo y poder colocar las piezas que son torneadas entre puntos, así como otros elementos tales como portabrocas o brocas para hacer taladros en el centro de los ejes. Este contrapunto puede moverse y fijarse en diversas posiciones a lo largo de la bancada.

Carros portaherramientas: consta del carro principal, que produce los movimientos de avance y profundidad de pasada y del carro transversal, que se desliza transversalmente sobre el carro principal. En los tornos paralelos hay además un carro superior orientable, formado a su vez por tres piezas: la base, el charriot y el porta herramientas. Su base está apoyada sobre una plataforma giratoria para orientarlo en cualquier dirección.

Equipo auxiliar [editar]

Plato de garras

Se requieren ciertos accesorios, como sujetadores para la pieza de trabajo, soportes y portaherramientas. Algunos accesorios comunes incluyen:

Plato de sujeción de garras: sujeta la pieza de trabajo en el cabezal y transmite el movimiento.

Plato y perro de arrastre

Centros: soportan la pieza de trabajo en el cabezal y en la contrapunta.
Perno de arrastre: Se fija en el plato de torno y en la pieza de trabajo y le transmite el movimiento a la pieza cuando está montada entre centros.
Soporte fijo o luneta fija: soporta el extremo extendido de la pieza de trabajo cuando no puede usarse la contrapunta.
Soporte móvil o luneta móvil: se monta en el carro y permite soportar piezas de trabajo largas cerca del punto de corte.
Torreta portaherramientas con alineación múltiple.
Plato de arrastre :para amarrar piezas de difícil sujección.
Plato de garras independientes : tiene 4 garras que actúan de forma independiente unas de otras.

Herramientas de torneado [editar]

Brocas de centraje de acero rápido.

Herramienta de metal duro soldada.

Las herramientas de torneado se diferencian en dos factores, el material del que están constituidas y el tipo de operación que realizan. Según el material constituyente, las herramientas pueden ser de acero rápido, metal duro soldado o plaquitas de metal duro (widia) cambiables.

La tipología de las herramientas de metal duro está normalizada de acuerdo con el material que se mecanice, puesto que cada material ofrece unas resistencias diferentes. El código ISO para herramientas de metal duro se recoge en la tabla más abajo.

Cuando la herramienta es de acero rápido o tiene la plaquita de metal duro soldada en el portaherramientas, cada vez que el filo se desgasta hay que desmontarla y afilarla correctamente con los ángulos de corte específicos en una afiladora. Esto ralentiza bastante el trabajo. Por ello, cuando se mecanizan piezas en serie lo normal es utilizar portaherramientas con plaquitas cambiables, que tienen varias caras de corte de usar y tirar y se reemplazan de forma muy rápida.

Características de las plaquitas de metal duro [editar]

Herramientas de roscar y mandrinar

La calidad de las plaquitas de metal duro se selecciona teniendo en cuenta el material de la pieza, el tipo de aplicación y las condiciones de mecanizado.

La variedad de las formas de las plaquitas es grande y está normalizada. Asimismo la variedad de materiales de las herramientas modernas es considerable y está sujeta a un desarrollo continuo. ^[5]

Los principales materiales de herramientas para torneado son:

Plaquita de tornear de metal duro

Metales duros recubiertos (HC)

Metales duros (H)

Cermets (HT, HC)

Cerámicas (CA, CN, CC)

Nitruro de boro cúbico (BN)

Diamantes policristalinos (DP, HC)

La adecuación de los diferentes tipos de plaquitas según sea el material a mecanizar se indican a continuación y se clasifican según una Norma ISO/ANSI para indicar las aplicaciones en relación a la resistencia y la tenacidad que tienen.

**Código de calidades de plaquitas**
SERIE	ISO	Características
Serie P	ISO 01, 10, 20, 30, 40, 50	Ideales para el mecanizado de acero, acero fundido, y acero maleable de viruta larga.
Serie M	ISO 10, 20, 30, 40	Ideales para tornear acero inoxidable, ferrítico y martensítico, acero fundido, acero al manganeso, fundición aleada, fundición maleable y acero de fácil mecanización.
Serie K	ISO 01, 10, 20, 30	Ideal para el torneado de fundición gris, fundición en coquilla, y fundición maleable de viruta corta.
Serie N	ISO 01, 10. 20, 30	Ideal para el torneado de metales no-férreos
Serie S		Pueden ser de base de níquel o de base de titanio. Ideales para el mecanizado de aleaciones termorresistentes y súperaleaciones.
Serie H	ISO 01, 10, 20, 30	Ideal para el torneado de materiales endurecidos.

Herramienta de torneado exterior plaquita de widia cambiable

Código de formatos de las plaquitas de metal duro [editar]

Como hay tanta variedad en las formas geométricas, tamaños y ángulos de corte, existe una codificación normalizada compuesta de cuatro letras y seis números donde cada una de estas letras y números indica una característica determinada del tipo de plaquita correspondiente.

Ejemplo de código de plaquita: SNMG 160408 HC

La primera letra, indica la forma geométrica de la plaquita:

Existen las siguientes formas geométricas de plaquitas:

W Hexagonal 80º,C Rómbica 80º, T Triangular, D Rómbica 55º, V Rómbica 35º L Rectangular, S Cuadrada, R Redonda.

La segunda letra, indica el valor del ángulo de incidencia de corte de la plaquita:

A 3º,B 5º C 7º, D 15º, E 20º, F 25º, G 30º, N 0º, P 11º.

La tercera letra indica la tolerancia que tiene la plaquita en radio y espesor

Existen los siguientes grados de tolerancia: J, K, L, M, N, U

La cuarta letra indica el tipo de sujeción que tiene la plaquita en el portaherramientas:

A con agujero sin avellanar, G con agujero rompevirutas en dos caras, M con agujero rompevirutas en una cara, N sin agujero y sin rompevirutas, W con agujero avellanado en una cara, T con agujero avellanado y rompevirutas en una cara,R sin agujero y con rompeviruta en una cara, X característica no estándar.

Las dos primeras cifras indican la longitud en milímetros de la arista de corte de la plaquita.

Las dos siguientes cifras indican el espesor en milímetros de la plaquita.

La dos últimas cifras indican el radio de punta de la plaquita.

A este código general el fabricante de la plaqueta puede añadir dos letras para indicar la calidad de la plaqueta o el uso recomendado.

Especificaciones técnicas de los tornos [editar]

Principales especificaciones técnicas de los tornos convencionales ^[6] :

Capacidad [editar]

Altura entre puntos;
distancia entre puntos;
diámetro admitido sobre bancada;
diámetro admitido sobre escote;
diámetro admitido sobre carro transversal;
anchura de la bancada;
longitud del escote delante del plato liso.

Cabezal [editar]

Diámetro del agujero del husillo principal;
nariz del husillo principal;
cono Morse del husillo principal;
gama de velocidades del cabezal (habitualmente en rpm);
número de velocidades.

Carros [editar]

Recorrido del carro transversal;
recorrido del charriot;
dimensiones máximas de la herramienta,
gama de avances longitudinales;
gama de avances transversales.

Roscado [editar]

Gama de pasos métricos;
gama de pasos Witworth;
gama de pasos modulares;
gama de pasos Diametral Pitch;
paso del husillo patrón.

Contrapunto [editar]

Diámetro de la caña del contrapunto;
recorrido de la caña del contrapunto;
cono Morse del contrapunto.

Motores [editar]

Potencia del motor principal (habitualmente en kW);
potencia de la motobomba de refrigerante (en kW).

Lunetas [editar]

Capacidad luneta fija mínima-máxima;
capacidad luneta móvil mínima-máxima.

No todos los tipos de tornos tienen las mismas especificaciones técnicas. Por ejemplo los tornos verticales no tienen contrapunto y solo se mecanizan las piezas sujetas al aire. El roscado a máquina con Caja Norton solo lo tienen los tornos paralelos.

Movimientos de trabajo en la operación de torneado [editar]

Movimiento de corte: por lo general se imparte a la pieza que gira rotacionalmente sobre su eje principal. Este movimiento lo imprime un motor eléctrico que transmite su giro al husillo principal mediante un

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