Русский Фильтр Чебышёва www.tool-tool.com－BW Professional Cutter Expert www.tool-tool.com

Bewise Inc. www.tool-tool.com Reference source from the internet.

Перейти к: навигация, поиск

Линейные электронные фильтры

Фильтр Чебышёва

Фильтр Чебышёва — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышёва I рода) и подавления (фильтр Чебышёва II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышёва, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышёва.

Фильтры Чебышёва обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.

Различают фильтры Чебышёва I и II родов.

Содержание

[убрать]

[править] Фильтр Чебышёва I рода

АЧХ фильтра Чебышёва I рода четвёртого порядка с ω₀ = 1 и $\varepsilon=1$

Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышёва. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра n-го порядка задаётся следующим выражением:

$G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}$

где $\varepsilon$ — показатель пульсаций, ω₀ — частота среза, а T_n(x) — многочлен Чебышёва $n \!$ -го порядка.

В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации (англ. ripple factor) $\varepsilon$ . В полосе пропускания многочлены Чебышёва принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального $\! G=1$ до минимального $G=1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$ . На частоте среза ω₀ коэффициент усиления имеет значение $1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$ , а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты. (Примечание: обычное определение частоты среза как частоты, когда ЛАЧХ имеет значение −3 дБ в случае фильтра Чебышёва не работает).

В случае аналогового электронного фильтра Чебышёва его порядок равен числу реактивных компонентов (например, индуктивностей), использованных при его реализации.

Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах:

Пульсации в дБ = $20 \log_{10}\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2}}$ .

Например, пульсации амплитудой в 3 дБ соответствуют $\varepsilon = 1 \!$ .

Более крутой спад характеристики может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси jω в комплексной плоскости. Это однако приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.

[править] Полюса и нули

Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва I рода 8-го порядка на плоскости комплексной частоты (s = σ + jω) при $\varepsilon=0,\!1$ и ω₀ = 1. Белые пятна — это полюса фильтра. Они расположены на эллипсе с полуосью 0,3836… по действительной оси и 1,071… по мнимой оси. Полюса передаточной функции фильтра расположены в левой полуплоскости. Чёрный цвет соответствует коэффициенту передачи менее 0,05, белый соответствует коэффициенту передачи более 20.

Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса (ω_pm) фильтра Чебышёва являются нулями его знаменателя. Используя комплексную частоту s, получим:

$1+\varepsilon^2T_n^2(-js)=0$ .

Представив − js = cos(θ) и используя тригонометрическое определение многочленов Чебышёва, получим:

$1+\varepsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=1+\varepsilon^2\cos^2(n\theta)=0$ .

Разрешим последнее выражение относительно θ

$\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}$ .

Тогда полюса фильтра Чебышёва определяются из следующего выражения:

s_pm = icos(θ) =

$=i\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}\right)$ .

Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, запишем последнее выражение в комплексной форме:

$s_{pm}^\pm= \pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+$

$+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m)$ ,

где $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$ и

$\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}$ .

Это выражение можно рассматривать как параметрическое уравнение с параметром θ_n. Оно показывает, что полюса лежат на эллипсе в s-плоскости, причём центр эллипса находится в точке s = 0, полуось действительной оси имеет длину $\mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$ , а полуось мнимой оси имеет длину $\mathop{\mathrm{ch}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$ .

[править] Передаточная функция

Уравнение, выведенное выше, содержит полюса, относящиеся к комплексному коэффициенту усиления фильтра G. Для каждого полюса есть комплексно-сопряжённый, а для каждой комплексно-сопряжённой пары есть два полюса, отличающихся от них только знаком. Передаточная функция должна быть устойчивой, что означает, что её полюса должны иметь отрицательную действительную часть, то есть лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости. Передаточная функция в этом случае задаётся следующим выражением:

$H(s)=\prod_{m=0}^{n-1}\frac{1}{(s-s_{pm}^-)}$

где $s_{pm}^-$ — только те полюса, которые имеют отрицательную действительную часть.

[править] Групповая задержка

Амплитуда и групповая задержка фильтра Чебышёва I рода пятого порядка с $\varepsilon=0,\!5$ . Видно, что в полосе пропускания и АЧХ и групповая задержка имеют пульсации, в полосе подавления этих пульсаций нет.

Групповая задержка определяется как минус производная фазы фильтра по частоте и является мерой искажения фазы сигнала на различных частотах.

$\tau_g=-\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega))$

[править] Фазовые характеристики

Типовая ФЧХ и фазовая задержка фильтра Чебышёва I рода 10-го порядка.

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва I рода — фазо-частотная характеристика (ФЧХ) и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.

$\tau_{\varphi}=\frac{\arg H(j\omega)}{\omega}$

[править] Временны́е характеристики

Типовые временные характеристики фильтра Чебышёва I рода 10-го порядка.

Временные характеристики фильтра Чебышёва I рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

[править] Фильтр Чебышёва II рода

АЧХ фильтра Чебышёва II рода (фильтр низких частот) с ω₀ = 1 и $\varepsilon=0,\!01$

Фильтр Чебышёва II рода (инверсный фильтр Чебышёва) используется реже, чем фильтр Чебышёва I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления. Амплитудная характеристика такого фильтра задаётся следующим выражением:

$G_n(\omega,\;\omega_0) = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\varepsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )}}}$

В полосе подавления полиномы Чебышёва принимают значения от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до

$\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{\varepsilon^2}}}$

минимальной частотой, при которой достигается этот максимум является частота среза ω₀. Параметр $\varepsilon$ связан с затуханием в полосе подавления γ в децибелах следующим выражением:

$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0,\!1\gamma}-1}}$

Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: $\varepsilon=0,\!6801$ ; для затухания в 10 дБ: $\varepsilon=0,\!3333$ . Частота f_C = ω_C / (2π) является частотой среза. Частота затухания в 3 дБ f_H связана с f_C следующим выражением:

$f_H = f_C\,\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{ch}}^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\right)$ .