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三、 材料異質性對其所組成結構的影響
針對二維有異質性材料層的多層結構以及三維多表面覆層顆
粒強化的複合材料進行研究與探討，相關結果如下。
3-1 等效材料特性的定義
在本研究中，使用無限元素法探討異質性材料的表現。以二維
為例，對其等效特性的定義描述如下。
二維有限元素-無限元素整合模型如圖3-1。在自由端處往x
方向施以一均勻的單位長度位移δ ，可以得到自由端的應力分佈。
計算沿著自由端的所有應力平均
1 ( , )
2
L
x L x L y dy
L
σ σ − = ∫ (3-1)
藉由平均應力，定義等效彈性模數和松柏比
x
x
x
E σ
ε
= (3-2)
y
xy
x
ε
ν
ε
= − (3-3)
再者，在整合模型中，施以一均勻的溫度梯度ΔT ，計算沿著
自由端的位移平均

u uLydy
L − = ∫ (3-4)
因此，可以定義等效熱膨脹係數
x
x T
ε
α =
Δ
(3-5)
3-2 二維具有異質性材料層的多層結構
膠體在電子構裝中大多用以上下接合，形成層狀結構。以覆晶
構裝為例子，主要是由晶片、覆晶底膠與基板所組成。大部分的
覆晶底膠為了減少其熱膨脹係數以及增加其剛性都會混入粒子填
充物。
就一般覆晶構裝而言，覆晶底膠從硬化狀態（curing state）回
復到常溫狀態必須遭受大約-100 oC的溫差。瞭解由溫差引起的熱
應力對整個結構可靠度的影響將是非常重要，特別是在晶片與覆
晶底膠介面[52]。因此，本研究將使用無限元素法對於覆晶構裝體
的相關問題進行一系列探討與研究。
1. 異質性材料層的等效材料特性
2. 覆晶構裝結構的等效模型（視異質性材料層為等效的均質材料）
3. 覆晶構裝結構的實際模型（實際模擬多數且隨機分佈的粒子）
分析模型為有相同厚度的簡單三層結構，包括晶片、覆晶底膠

和基板[8,52]，其厚度與長度分別為5 單位和100 單位。如圖3-2，
覆晶底膠為混入粒子填充物的異質性材料結構層，粒子半徑為0.2
單位，膠體厚度是粒子半徑的25 倍。對於整個分析模型，進行平
面應變（plane strain）分析，同時假設所有材料特性皆滿足線彈性
（linear elastic）與等向性（isotropic）。表3-1 列出所使用的材料
參數。
3-2-1 異質性材料的等效材料特性
首先，將探討粒子堆積比（volume fraction of particle；Vf）分
別為5%、10%、15%、20%、25%、30%、35%、40%和45%的
情況下，其對異質性覆晶底膠本身等效特性的影響。
圖3-3 為有限元素-異質性無限元素整合模型。在異質性無限
元素的部分（包含內含物次區域以及中間相次區域），定義中間相
次區域的材料特性與膠體相同，因此，可視為在膠體與粒子間沒
有中間相次區域，粒子填充物被完美的置入在膠體裡面。如此，
將可控制所有異質性無限元內部內含物次區域的大小，使其符合
所考慮的粒子堆積比，而不需配合粒子堆積比的變動，再重新建
構另一整合計算模型。
在固定粒子堆積比的情況下，粒子隨機分佈的位置不同所求得
的等效材料特性也將有所差異。因此，考慮粒子填充物非常均勻
的隨機分佈在膠體中。每一個考慮的粒子堆積比將建立15 個不同
的粒子隨機分佈模型進行探討。因為異質性無限元素法的優勢，
全部只需要建立15 個不同粒子隨機分佈的膠體結構計算模型。此

外，每一個考慮的粒子堆積比，也只需計算其中一個異質性無限
元素的剛性矩陣，即可套用到15 個不同計算模型內的所有異質性
無限元素區域。
所有分析的結果整理在圖3-4 到圖3-6。可以發現，當粒子堆
積比越大時，等效彈性係數相對增加，等效松柏比和熱膨脹係數
相對減少；粒子堆積比越大，等效特性也會產生較大的變動。同
時，也與Mori-Tanaka 解析方法所求的結果做比對與驗證，發現趨
勢是相同的。然而，就如同先前所提到的，也發現解析方法不能
描述粒子分佈對異質性膠體等效特性的影響。
在力學分析中常把異質性材料等效為一個均質材料。此時，利
用無限元素法所求出的等效特性，也提供了決定等效材料參數時
的範圍依據，而不再是解析方法中所求得的唯一值。
3-2-2 多層結構的等效模型
其次，配合3-2-1 所求出的所有異質性膠體的等效特性，本研
究將使用等效模型（異質性膠體視為一個等效的均質材料），探討
三層覆晶封裝結構其覆晶底膠-晶片介面之間因熱負載所引起的介
面應力（interfacial stress）。
為了較精確的描述介面應力的分佈以及靠近介面端點的應力
奇異性（stress singularity），使用如圖3-7 的有限元素-無限元素計
算模型。有限元素若考慮多數較細小的元素將造成運算以及建模
上的困擾。然而，無限元素，配合比例常數的給定，越往比例中

心自動產生的虛擬元素層與節點將會越密集，且最後會退化到最
外圍的主節點上。因此，在兩種不同材料介面處置入無限元素並
移動比例中心到介面端點上，如此對於描述靠近奇異點附近的層
間應力變化將更精確且方便。
而每一個分析模型，在無限元區域內皆考慮相同層數和比例常
數；同時，也無因次化（normalized）所有得到的最大介面應力值。
假設覆晶底膠為純膠（沒加入任何粒子填充物）的情況下，分析
所得的最大介面應力值為無因次化的基準。因此，最大介面應力
的比較將是較有根據的。
無因次化的最大介面應力值與粒子堆積比的關係如圖3-8 與
圖3-9。可以發現，隨著粒子堆積比越大，其最大介面應力下降的
越明顯。在粒子堆積比為40%的情況下，最大正向介面應力
（interfacial normal stress）以及剪向介面應力（interfacial shear
stress）的最大下降量分別到達了40%與47%。此外，因為粒子的
隨機分佈造成覆晶底膠的等效特性有所差異，其也反映到最大介
面應力上。同時也發現，使用Mori-Tanaka 解析方法所評估的等效
特性，會有較保守的最大介面應力值，特別是最大剪向介面應力。
因此，必須更小心的考量與評估利用解析方法所求出的異質性膠
體等效特性以及其對介面應力的影響。
3-2-3 多層結構的實際模型
最後，有別於等效模型，而是更真實的模擬多數且在覆晶底膠
中隨機分佈的粒子，考慮粒子填充物非常均勻的隨機分佈在膠體

中。因為一般混入粒子填充物的覆晶底膠其堆積比大約是40%，
故在粒子堆積比為40%的情況下，建立10 個不同的覆晶構裝結構
實際模型，並探討其介面應力的表現。其中一個整合計算模型如
圖3-10 所示。
在每一個分析的模型中，膠體裡隨機分佈的粒子彼此間不允許
重疊（overlap），其最小距離為半徑的0.25 倍。異質性無限元素取
代所有粒子相關區域；只需要計算其中一個異質性無無限元素的
剛性矩陣，即可套用到全部的無限元素。因此其自由度、運算記
憶體與模擬執行時間皆可以顯著的減少。
從圖3-11 與圖3-12 可以發現，在端點處，介面正向應力有極
大值；介面剪向應力在靠近端點時，由極大值降至為零，由平衡
的觀點，這是可預期的。在圖中，水平軸1 代表從晶片長度中心
線算起90%的位置，0 則代表介面端點。
由於粒子的隨機分佈，可以預期將造成不同的最大介面應力表
現。圖3-13 為兩個極端表現的實際模型。模型2 有數個粒子集中
分佈在介面端點處，介面應力為最小；反觀，模型4 其粒子分佈
則較遠離端點處，有最大的介面應力。因此，發現粒子越集中在
介面端點處的話，則有助於降低其介面應力。
再者，覆晶構裝結構實際模型其介面應力分佈因為受介面附近
粒子的影響，出現較大幅度的跳動；反觀3-2-2 的所有等效模型，
其應力分佈大都一樣，上下邊界如圖3-11 與圖3-12 所示。同時也
發現等效模型與實際模型其介面應力的分佈趨勢大致相同；然
而，等效模型是較保守的。因為破壞（fracture）是發生在局部微

小地方的現象，多層結構的實際模型在介面應力分析的重要性不
言而喻。
3-3 三維多表面覆層顆粒強化的複合材料
應用所發展的三維異質性元素法去探討三維多表面覆層顆粒
強化的複合材料其粒子覆層的相關參數對本身等效彈性係數的影
響。假設所有圓形的覆層顆粒完美的置入於材料中，且所有材料
特性皆滿足線彈性與等向性。
3-3-1 覆層粒子介面彈性係數的影響
使用有限元素-異質性無限元素整合模型建構單一粒子模型以
及2×2×2 粒子模型，比較兩種內有覆層粒子的正立方體模型，探
討其介面覆層的彈性係數（4.0～12.0 GPa）對本身等效彈性係數
的影響。
圖3-14（a）代表邊長為L 的正立方體單一粒子模型，半徑為a
的粒子有厚度為h 的薄層包覆；相關尺寸為，a = 8.5 μm，h =1μm和
L = 21.31μm。使用異質性無限元素取代覆層粒子，在內含物區域
（inclusion region）與中間相區域（interphase region）的無限元素
相關參數分別為0.8 p λ = 和0.9889390635 in λ = ; 50 p s = 和10 in s = 。單
一粒子模型裡，使用了1680 個八節點的六面體元素（有限元素部
分）與362 個主節點的無限元素。如圖3-14（b），2×2×2 粒子模型
則是由8 個相同的單一粒子模型所組成，使用了362×8 個主節點

的無限元素；有限元素的部分則是用了13488 個八節點的六面體
元素。然而，在2×2×2 粒子模型中，只需要計算其中一個粒子的
異質性無限元素剛性矩陣，即可套用到所有的粒子上。表3-2 列出
所有使用的材料特性。
整理單一粒子模型與2×2×2 粒子模型所求得的等效彈性係
數，如表3-3 與圖3-15，發現當覆層介面彈性係數越大，其整體的
等效彈性係數會越大；當覆層粒子越多時，其整體的等效彈性係
數也會因此提高。
3-3-2 覆層粒子介面厚度的影響
在3-3-1 裡，皆討論粒子覆層介面厚度在h =1μm的情況下，
其覆層介面彈性係數對整體等效彈性係數的影響。其次，將探討
覆層介面厚度（1.0 μm～ 0.2 μm）對其整體等效彈性係數的影響。
其覆層介面彈性係數固定為E(in) = 6.0 GPa。
同3-3-1，使用有限元素-異質性無限元素整合模型。固定三維
異質性無限元素的大小，設定中間相次區域如同特定的覆層介面
厚度，如此不需重新建構另一整合計算模型；在2×2×2 粒子模型
中，只需要計算其中一個粒子的異質性無限元素剛性矩陣，即可
套用到所有的粒子上。
單一粒子模型與2×2×2 粒子模型所求得的等效彈性係數整理
在表3-4 與圖3-16，可以發現，當覆層介面厚度越大與覆層粒子越
多時，其整體的等效彈性係數會因此提高。

3-3-3 覆層粒子分佈的影響
如圖3-17，把四顆相同顏色的粒子視為同一部份，旋轉其一
部份，使其產生三個特定的角度（ θ ＝ 0o，22.5o 和45o ）。使用有限
元素-異質性無限元素整合模型，探討覆層粒子的三種不同分佈對
其複合材料等效彈性係數所造成的影響。
3L×3L×2L的整合模型，其中粒子半徑為a ，薄層厚度為h ，
相關尺寸如下： a = 8.5 μm， h = 0.5 μm， d = 6 μm和L = 21.31μm。
相關材料參數如表3-5。其中，在異質性無限元素的部分，使用了
362×8 個主節點；對於三個特定角度（ θ ＝ 0o ， 22.5o 和45o ），有限
元素的部分，則分別用了23226、30415 和25855 個四節點的四面
體元素。
可以發現，當θ ＝ 0o 時有較大的等效彈性係數，而較小的等效
彈性係數發生在θ ＝ 45o 時，之間有5.02%的差距；角度越大其等
效彈性係數越小。因此，粒子分佈方式不同也會造成複合材料的
等效彈性係數有所差異。所有分析的結果整理在表3-6。

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