二、 發展微觀力學計算模型
2-1 描述材料異質性的相關力學模型
混入填充物（inclusion, particle, filler, fiber）之異質性複合材
料等效特性的評估與預測，在科學與工程的應用方面，一直是許
多學者與工程師研究的重點，提出了不少的報告與材料特性評估
模型。
2-1-1 等效材料特性
Halpin-Tsai[10]在1967 年提出以基材與加強粒子的彈性係數
來估計顆粒強化的複合材料的彈性係數
( )
( ) ( )
2
3
m p m p
2 1
m m p m p3 p3
E E -E
E E -E V 1-V
E + V
=
E +
(2-1)
公式中E 為複材彈性係數， m E 為基材彈性係數， p E 為加強粒子的
彈性係數， p V 為粒子體積百分比，利用此公式可推算出顆粒強化
之複材的E 值。
如同Halpin-Tsai 的關係式，大部分的複材材料特性評估模型
都是利用平均近似的觀念建立複材、其加入的強化粒子和基材三
者間彼此材料係數的關係。一些較常見的等效模型為Dilute 模式、
Mori-Tanaka 方法以及自洽法（self-consistent method），詳細的資
料可參照[11,12]。
從1973 年Mori 和Tanaka[13]計算包含內含物（inclusion）之
材料基底（matrix）的平均應力開始，Mori-Tanaka 的平均應力概
念被大量應用到複合材料相關性質的研究上。其中又以1987 年
Benveniste[14]應用在內含物為隨機分佈的兩相複合材料較為有
名。Benveniste 推導出簡單的數學式去預測複合材料的等效特性，
當基材與內含物都是等向性材料時且內含物為隨機分佈的兩相複
合材料，其等效體積模數κ * 可表示為
( )
( )( )
* 2 1 1
1
1 2 1 1 1
f
f
κ κ κ
κ κ
κ κ γ κ
−
= +
− − +
(2-2)
其中( ) γ1=3κ1 3κ1+4μ1， f 為內含物的堆積比（volume fraction of
inclusion）， ( 1,2) i κ i = 為體積模數， ( 1,2) i μ i = 為剪力模數，下標的
1 和2 分別代表基底和內含物。等效剪力模數μ * 也可表示為
( )
( )( )
* 2 1 1
1
2 1 1 1 1
f
f
μ μ μ
μ μ
μ μ β μ
−
= +
− − +
(2-3)
其中( ) ( ) 1 1 1 1 1 β =6κ +2μ ⎡⎣53κ +4μ ⎤⎦。
等效熱膨脹係數α * 能被推導如下
( )
( )* 2 1 ( * )
1 1
2 1
1 1
1 1
α α
α α κ κ
κ κ
−
= + −
−
(2-4)
其中( 1,2) i α i = 為個別的熱膨脹係數。
複合材料的等效彈性模數E*與等效柏松比ν * 可從等效體積模
數κ * 與等效剪力模數μ * ，經由(2-5)式與(2-6)式獲得
9
3
E κμ
κ μ
=
+
(2-5)
3 2
6 2
κ μ
ν
κ μ
−
=
+
(2-6)
也因為Mori-Tanak 方法應用簡單，目前已成為評估複合材料等效
特性最常使用的方法。
Dilute 模式因為假設內含物的體積比率很小，因此忽略了內含
物彼此之間的相互作用力，其適用的範圍也比較狹隘。實際上，
複合材料可以從沒有混入內含物(全部為基材)到完全充滿了內含
物都有可能。Mori-Tanaka 方法與Dilute 模式的主要差異就在於多
考慮了內含物彼此之間的互制作用。
1965 年Hill[15]和Budiansky[16]提出自洽法，其與Mori-Tanaka
方法相同，都有考慮內含物彼此之間的互制作用，但是自洽法所
考慮的模型為將內含物埋置於等效介質之中，不再是原本的基
材，藉此模擬內含物之間的交互作用力。
1977 年Mclaughlin[17]也將微分法應用在複合材料之等效特
性的評估上，由於是基於一個高度非線性的微分方程的求解，所
以較不常使用。
雖然提到的各種解析方法能利用基材與包含物的相關材料特
性去快速的評估其複合材料的等效特性，但皆是在複合材料假設
為一均質材料的考量上。再者，解析方法對包含物的排列、分佈
以及覆層等相關影響皆不能反映在所求得的等效特性上。故探討
混入多粒子的異質性膠體在結構上的應用時，其對結構局部的影
響也較不能掌握。
因此，多粒子的模擬是必要的，尤其在探討多粒子膠體對結構
局部的影響。最常使用的數值方法即為有限元素法，其被廣泛使
用在纖維強化（ fiber-reinforced ） [18,19] 或顆粒強化
（particulate-reinforced）[20-22]複合材料的模擬上，其中以混入覆
層纖維或粒子的三維複合材料的探討為最多數。Böhm[23,24]等人
也利用有限元素法探討三維多粒子隨機分佈的複合材料的機械行
為。然而，為了更好的分析結果以及獲得更詳細的資訊，可以預
期到產生大量的元素與節點是絕對必要的。因為如此，計算時間
的花費以及運算的記憶體需求也會相對的提高。
二維異質性材料（heterogeneous material）的分析上，除了有
限元素法外，Zhang 和Katsube[25,26]發表了混合有限元素近似法
（hybrid finite element approach），針對有隨機分佈的內含物或空孔
的異質性的材料做機械性質分析。在這個方法裡， 作者根據
Hellinger-Reissner 原理為基礎改良混合函數，發展出包含內含物的
多邊形元素（n-sided polygonal super-element）。在元素的推導中，
使用近似函數且引入典型的彈性解（classical elasticity solution），
因此可以較好的描述在內含物附近不規則的應力變化和位移分
佈。然而，對於幾何複雜的內含物，典型的彈性解不易取得，且
對於有覆層粒子的複合材料沒有更多相關的研究探討。
邊界元素法（boundary element method；BEM）最近也常使用
在混入多內含物的複合材料模擬上，並發表一系列相關的論文
[27-30]。與有限元素法相同，邊界元素法使用了元素和節點，但
只保留邊界上的部分， 所以比其他同樣以求解區域為基礎
（domain-based）的數值方法，在運算上更有效率。然而，邊界元
素法在使用上必須配合邊界積分方程式，其推導必須滿足求解區
域的統御微分方程式（governing differential equation）。此外，大
量的積分運算是必須的，且最後的全域係數矩陣（global coefficient
matrix）通常是不對稱的，導致直接求解係數矩陣的計算代價增加。
Liu 和Chiou 最近幾年致力在二維和三維無限元素法（infinite
element method；IEM）的發展[31-34]，也相繼應用去處理各種彈
性和奇異性（singularity）的問題。在這部分的相關背景和知識可
參閱相關文獻[35-39]。無限元素法也被改進與延伸去處理二維有
覆層粒子之異質性材料的彈性問題[40]，稱為異質性無限元素法
（heterogeneous infinite element method；HIEM）。使用異質性無限
元素取代每一個覆層粒子區域，由於異質性無限元素內部自動產
生相似的虛擬元素，經過矩陣退化與轉換的動作只剩最外圍主節
點的自由度，而內部的覆層粒子材料特性皆可以保留，再加上異
質性無限元素的剛性矩陣的只需要一次運算即可套用到所有相同
的區域上，因此對於多覆層粒子之異質性材料相關問題的探討，
可以收到不錯的結果。然而，到目前為止，無限元素法並沒有考
慮濕熱效應，且在異質性材料問題的應用上只到二維。
由於無限元素法本身的特點，對於異質性膠體的模擬有其優
勢，因此本研究將更進一步的引入濕熱效應且繼續發展三維的異
質性無限元素法，使其數值方法更加完整。之後，更利用有限元
素-無限元素整合方法建立異質性膠體之微觀力學模型，針對異質
性膠體本身以及在結構的應用上所面臨的各種問題做更進一步的
探討。
2-1-2 濕氣擴散特性
許多學者與工程師也致力於異質性複合材料濕氣擴散相關特
性的研究，特別是探討其添加的粒子填充物或纖維對本身吸濕效
果的影響[41,42]。其中，絕大部分對於暫態濕氣擴散的研究皆以
Fick’s law 為依據，並發展出以均質模型（homogenized model）為
基礎的解析模型（analytical model）反映材料異質性。在異質性的
複合材料中，其濕氣吸收與最大濕氣濃度和等效濕氣擴散係數
（effective diffusivity）有密切的關係，而這些解析模型以反映出
粒子對等效濕氣擴散係數的影響以及濕度環境對最大飽和濕氣濃
度的影響為首要。
1976 年Shen 和Springer[41]以熱傳導模型為基礎提出單向複
合材料（unidirectional composite）的等效濕氣擴散模型。在這個
模型中，假設纖維強化複合材料的纖維排列為方形陣列，其橫向
（transverse）（與纖維垂直）的等效濕氣擴散係數為
(1 2 ) r f D D v π ⊥= − (2-7)
其中D⊥ 為橫向等效濕氣擴散係數， r D 為材料本身的濕氣擴散係
數， f v 為纖維的堆積比。雖然Shen 等人的實驗結果與其預測模型
相吻合，然而在此之後的相關研究指出，這個模型假設濕氣擴散
路徑為直線；也就是說，忽略濕氣圍繞纖維周圍的傳遞，因此它
會低估了複合材料的等效擴散係數[43]。
Shirrell 和Halpin[44]依據Halpin-Tsai 的關係式提出了另一套
纖維強化複材等效濕氣擴散係數的評估法。當纖維的截面積為圓
形，且不吸濕的情況下，其等效濕氣擴散係數可表示
(1 ) r f D =D −v (2-8)
1
1
f
r
f
v
D D
v ⊥
⎛ − ⎞
= ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠
(2-9)
其中D⊥ 為橫向等效濕氣擴散係數， D 為縱向等效濕氣擴散係數，
r D 為材料本身的濕氣擴散係數， f v 為纖維的堆積比。然而，就如
同其他等效模型一樣，這個模型雖然能快速評估其等效濕氣擴散
特性，但由於等效模型忽略了材料異質性的影響，因此不能精確
的描述在時間變動下的飽和濕氣濃度變化[45]。此外，一旦添加的
填充物並非特定的形狀或想更瞭解填充物的排列、大小與數量對
其濕氣擴散係數的影響，其解析模型有其不足與不便之處。
所以，在顆粒強化與纖維強化的複合材料中，真實模擬其添加
的填充物對於濕氣擴散的影響是必要的。有限元素法是最常使用
的數值方法，也是瞭解其顆粒強化與纖維強化複合材料相關特性
最方便的工具[46,47]。然而，可以預期的，大量的節點與元素是分
析所必要的，再者，建模與網格分割也是一件繁瑣的工作，尤其
在探討填充物的排列、大小與數量對其濕氣擴散係數的影響等需
要多次分析與建模的情況下。
因此，在本研究中，為了能更方便的探討複合材料內多數且隨
機分佈的粒子與本身濕氣擴散的關係，提出了一個新穎且有效率
的數值方法，稱為複合濕元素法（hybrid moisture element method；
HMEM）。更利用有限元素-複合濕元素整合方法建立二維混入多粒
子的異質性膠體之數值分析模型，並針對其在結構應用上做更進
一步的探討。
2-2 無限元素法
無限元素法的發展主要是以有限元素法為基本架構[48]。在這
一部份將介紹無限元素法，並引入濕熱效應，且繼續發展三維的
異質性無限元素法。
2-2-1 等參元素的相似性
無限元素法主要是基於等參元素（isoparametric element）相似
剖分（similarity partition）的概念。這個概念可以由四個節點的四
邊形元素解釋。
如圖2-1 的兩個元素，對於元素I 而言，它是編號1-4 的節點
逆時針排序方向排列所組成。對於元素II 而言，它的節點排序與
相對位置是對應元素I （依據原點座標O 與比例常數λ ）所產生。
其兩元素的節點座標關係如下
( II, II) ( I, I)
i i i i x y = λx λy (2-10)
其中λ ∈(0,1) 或λ ∈(1,∞) 。引入形函數（shape function） ( , ) i
φ ξ η ，
二維四節點的四邊形元素的形函數詳見附錄中(a-1)～(a-4)式。元素
I 從全域座標轉換到自然座標（natural coordinate）可表示為
1
( , )
n
I I
i i
i
x φ ξ η x
=
= Σ (2-11)
I
1
( , )
n
I
i i
i
y φ ξ ηy
=
= Σ (2-12)
元素II 從全域座標轉換到自然座標時，與元素I 的關係可表示為
1
( , )
n
II I II
i i
i
x λx φ ξ ηx
=
= =Σ (2-13)
1
( , )
n
II I II
i i
i
y λy φ ξ η y
=
= =Σ (2-14)
當元素的節點座標位置能以形函數形式表達時，稱為等參元素；
當兩等參元素的相對應節點座標值有上述之關係時，則此兩元素
互為相似元素。
因此，當兩個三維等參元素互為相似時，其以下的節點座標關
係亦成立
1
( , )
n
II I II
i i
i
x λx φ ξ ηx
=
= =Σ (2-15)
1
( , )
n
II I II
i i
i
y λy φ ξ η y
=
= =Σ (2-16)
z λz φ ξ η z
=
= =Σ (2-17)
此時， ( , ) i
φ ξ η 為三維八節點六面體元素的形函數，參見附錄(b-1)
～(b-8)式。
2-2-2 二維彈濕熱無限元素法
第一部份：濕熱效應
材料受到溫度變化和吸濕所產生之應變可由溫濕變化與材料
熱膨脹及濕膨脹係數相乘而得
2
1
T
t T t t ε =∫ α dT =αΔT (2-18)
其中t
ε 為熱應變， t
α 為熱膨脹係數， 1 T 為初始溫度， 2 T 為最後溫度，
ΔT 為溫度變化。
2
1
M
m M m m ε =∫ α dM =α ΔM (2-19)
其中m ε 為濕應變， m α 為濕膨脹係數， 1 M 為0%濕度， 2 M 為不同時
間的濕度， ΔM 為濕度變化。
結構的總應變可由一維的濕熱應變來推導[49]。
x
x E t m
σ
ε = +ε +ε (2-20)
其中x ε 為x 方向之應變， x σ 為x 方向之應力， t
ε 為溫度變化所產
生之應變， m ε 為吸濕所產生之應變， E 材料常數。將上式推廣到
多維，並以向量表示
[ ] 1
t m ε D σ ε ε − = + + (2-21)
[ ]( ) t m σ = D ε−ε −ε (2-22)
其中[D]為材料特性矩陣，在二維平面應力的問題中可表示為
[ ] 2
1 0
1 0
1
0 0 1
2
D E
ν
ν
ν
ν
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= − ⎢⎢ − ⎥⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(2-23)
在平面應變問題中
[ ] ( )( )
1 0
1 0
1 1 2
0 0 1
2
D E
ν ν
ν ν
ν ν
ν
⎡ ⎤
⎢ − ⎥
⎢ ⎥
= + − ⎢⎢ − − ⎥⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(2-24)
單位體積的應變能可表示為
( ) 0
1
2
T
V = σ ε−εt−εm (2-25)
將(2-22)式代入(2-25)式可得
( ) [ ]( ) 0
1
2
T
V = ε −εt−εm D ε −εt−εm (2-26)
再者，單元內總應變能可表示為
e V 0
V= ∫ VdV (2-27)
又應變矩陣可表示為
[ ] e ε = B U (2-28)
其中[B]為應變-位移關係矩陣。e U 為單元內的節點位移。
[ ]
0 . .
0 ..
. .
i
i
i i
x
B
y
y x
φ
φ
φ φ
⎡∂ ⎤
⎢ ⎥
⎢∂ ⎥
⎢ ∂ ⎥
=⎢⎢ ∂ ⎥⎥
⎢∂ ∂ ⎥
⎢⎣∂ ∂ ⎥⎦
(2-29)
將(2-26)式帶入(2-27)式，且引入(2-28)式，可得每一單元的總應變
能為
( ) [ ]( )
([ ] ) [ ]([ ] )
1
2
1
2
T
e V t m t m
T
V e t m e t m
L T M C
V D dV
BU D B U dV
V V V V
ε ε ε ε ε ε
ε ε ε ε
= − − − −
= − − − −
= + + +
∫
∫
(2-30)
其中L V 為由機械負荷所造成的應變能， T V 為由熱負荷所造成的應
變能，其中M V 為由濕負荷所造成的應變能， C V 則為常數項。
1 [ ] [ ][ ]
2
T T
L V e e V= ∫U B DBUdV (2-31)
V= ∫U B DεdV (2-32)
T [ ]T [ ]
M V e m V = ∫U B DεdV (2-33)
經由最小能量法則
e 0
e
V
U
∂
=
∂
(2-34)
單元的有限單元矩陣方程式可表示為
[ ] { } e e K U = f (2-35)
其中單元剛性矩陣[ ] [ ]T [ ][ ]
e V K = ∫ B D BdV，而負載項也可分為熱負
載與濕負載{ } [ ]T[ ] [ ]T[ ]
V t V m f =∫ B DεdV+∫ B Dε dV。
當全域座標轉換到自然座標，單元的剛性矩陣、熱負載與濕負
載矩陣可表示如下
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1
2 2 1 1 2 3 3 3 3 2 det T
n n n n K B D B J dξdη × − − × × × = ∫ ∫ (2-36)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1
2 1 1 1 2 3 3 3 3 1 det T
Tn n t f B D α T J dξdη × − − × × × =∫ ∫ Δ (2-37)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1
2 1 -1 -1 2 3 3 3 3 1 det T
Mn n m f B D α M J dξdη × × × × =∫ ∫ Δ (2-38)
其中[J ]為Jacobian 轉移矩陣
[ ]
i
i i
i
x y
J x y
x y
φ
ζ ζ ζ
φ
η η η
⎡ ⋅ ⋅ ⎤
=⎡⎢⎢∂∂ ∂∂ ⎤⎥⎥=⎡⎢⎢⋅ ⋅ ∂∂ ⋅ ⋅⎤⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⋅ ⋅ ⎥⎥⎥
⎣⎢⎢∂∂ ∂∂ ⎦⎥⎥ ⎣⎢⎢⋅ ⋅ ∂∂ ⋅ ⋅⎦⎥⎥ ⎢⎢⎢⎣ ⋅⋅ ⋅⋅ ⎥⎥⎥⎦
(2-39)
引入2-2-1 等參元素的相似性。回顧(2-10)式與(2-29)式，兩相
似元素的應變-位移關係矩陣有以下的關係
[ ] II 1 [ ] I B B
λ
= (2-40)
[ ] [ ]
T 1 T
II I B B
λ
= (2-41)
再者，Jacobian 轉移矩陣以及它的行列式在兩個相似元素之間的關
係為
[ ] II 1 [ ] I J J
λ
= (2-42)
det[ ] 2 det[ ] II I J = λ J (2-43)
代入(2-29)式、(2-23)式和(2-39)式到(2-36)式、(2-37)式和(2-38)
式，可以得到相似元素之間的重要關係
[ ]II [ ]I K = K (2-44)
[ ] II [ ] I
T T f = λ f (2-45)
[ ] II [ ] I
M M f = λ f (2-46)
(2-44)式、(2-45)式和(2-46)式指出二維相似等參元素的剛性矩陣與
其尺寸無關；熱負載與濕負載皆直接與元素尺寸比例常數λ 有關。
第二部份：二維彈濕熱無限元素法推導
如圖2-2，等參元素相似剖分的概念可以藉由特定的元素網格
分割技巧（mesh）而加以應用。
首先，適當的取m個主節點在無限元素最外圍的邊界0 Γ 上，
依據需求可以調整節點位置與數量。第二，當決定相似剖分中心O
和比例常數λ ∈(0,1) 後，依據比例常數λ 1，λ 2，⋅⋅⋅，λ s 分別產生與
0 Γ 相似的邊界1 Γ ， 2 Γ ，⋅⋅⋅， s Γ 。在i−1 Γ 與i Γ 兩邊界中間的稱為第i
元素層（ i ＝1，2，⋅⋅⋅， s ），此時s 為元素層的總數。第三，所有
最外圍的主節點與比例中心的連線，使得每一個邊界i Γ 獲得與最
外圍邊界0 Γ 相同的離散，形成所有虛擬的節點。而每一個虛擬的
節點座標皆可以依據幾何相似的概念由最外圍的主節點座標依序
推出。第四，每一個元素層依據虛擬節點自動劃分成四個節點的
元素；層與層之間在相同放射方向的元素彼此互為相似元素。
考慮第1 元素層（layer 1），使用有限元素法，運算出每一個
四邊形元素的剛性矩陣，且集合（assembly）成一整個元素層的剛
性矩陣。第1 元素層的剛性矩陣，可以表示為[39]
⎡ − ⎤
⎢⎣− ⎥⎦
a
b
K A
A K
(2-47)
其中a K 、b K 和A是維度2m×2m的次矩陣。AT 是A的轉置矩陣。
因為元素層的剛性矩陣是對稱（symmetrical）的，所以a K 和b K 也
是對稱的，且可集結成次矩陣。
在邊界i Γ 上的所有節點位移向量i
δ 可以定義為
1 1 2 2 m m
i i i i i i T
i δ ≡⎡⎣u v u v u v⎤⎦ (2-48)
其中u 和v 表示位移向量的x 和y 方向。
在邊界i Γ 上的所有節點的外力負載向量i f 、熱負載向量th
i f 和
濕負載向量m
i f 分別可以定義為
1 1 2 2 m m
i i i i i i T
i x y x y x y f ≡⎡⎣f f f f f f⎤⎦ (2-49)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
th i th i th i th i th i th i th T
i x y x y mx my f ≡⎡⎣f f f f f f ⎤⎦ (2-50)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
m i th i m i m i m i m i m T
i x y x y mx my f ≡⎡⎣f f f f f f ⎤⎦ (2-51)
第i 元素層的剛性矩陣表示邊界i−1 Γ 與i Γ 之間的位移向量與節
點負載關係。回顧(2-47)式，以第1 元素層為例子，可以得到
0 0 0 0
1 1 1 1
T th m
th m
⎡ − ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ + + ⎤
⎢⎣− ⎥⎦⋅⎢⎣ ⎥⎦=⎢⎣ + + ⎥⎦
a
b
K A f f f
A K f f f
δ
δ (2-52)
展開(2-52)式可得到兩個方程式
0 1 0 0 0
− T = + th m aKδ Aδ f f + f (2-53)
0 1 1 1 1
− + = + th m b Aδ Kδ f f + f (2-54)
其中0 δ 、0 f 、0
f th 和0
f m 各代表節點位移、外力、熱負載和濕負載
向量。根據相似定理（(2-44)式、(2-45)式和(2-46)式），所有相似
元素層間彼此的剛性矩陣與尺寸大小無關；濕、熱負載與尺寸大
小成正比關係（比例常數λ 的若干倍）。因此，第1 元素層到第s 元
素層的剛性矩陣可以表示為
其中( 1 )
1
= − T − Z a K K AM A和( 1 ( ))
1 1 0 0 0
= T − + + th + m ZF AM F f f f 分別代
表整個組成元素的剛性矩陣以及伴隨的負載向量。Z K 可視為無限
元素的等效剛性矩陣。Z F 包含外力的影響與濕熱負載的影響。一
旦定義出Z F 後，從(2-72)式可以得到0 δ 。之後藉著使用(2-70)式，
1 δ
， 2 δ ，， s
δ 也可以陸續求出。
無限元素法的使用，不只可以大大減少數值運算處理的時間、
自由度以及運算記憶體，而且仍然保留內部切割細密的網格與材
料的特性。除此之外，計算Z K 時，只需要計算第1 元素層的剛性
矩陣。
2-2-3 二維彈濕熱無限元素法之延伸應用
無限元素法也被改進與延伸去處理二維有覆層粒子之異質性
材料的彈性問題[40]，稱為異質性無限元素法。如圖2-3，異質性
無限元可分為兩個材料特性不同的次區域（sub-domain），包含內
含物（inclusion）的部分以及中間相（interphase）的部分。如2-2-2
相同的方式，二維異質性無限元素法也引入了濕熱效應，因此異
質性無限元素法現在也能處理彈濕熱相關問題。
無限元素法的推導主要是基於有限元素法的概念，使用了元素
剛性相似的特性以及矩陣退化縮減的操作。一系列有相似形狀和
相同材料特性的層元素在分析的區域內往相似中心的方向虛擬產
生。然而，在同一層元素可允許存在不同的材料特性。本研究利
此一特性使無限元素法能處理兩種不同材料介面層的相關問題。
如圖2-4，無限元素可以分成上下有不同材料的次區域。在這
個應用裡，放置比例中心在介面端點，藉由無限元素法，依據比
例常數自動往比例中心產生相似元素的特性，越到端點處其虛擬
元素越密，有助於端點介面相關問題的探討。同時，也因為元素
剛性相似的特性以及矩陣退化縮減操作，在運算時只剩下無限元
素最外圍主節點的自由度，因此有極大的便利性。再者，自由度
大大減少的同時，但仍然保留內部切割細密的網格與不同材料的
特性。
2-2-4 三維異質性無限元素法
這個部分將介紹三維異質性無限元素法的數值推導；並提出一
個有中間相次區域（interphase sub-domain）以及內含物次區域
（inclusion sub-domain）的三維特別元素。如圖2-5， 0 Γ 與s Γ 為中
間相次區域的邊界； s Γ 為內含物次區域的邊界。兩個次區域的數
值推導如下：
第一部份：中間相次區域的數值推導
同二維無限元素法，在中間相次區域的數值推導也是依據元素
相似性的概念，如圖2-6。
首先，在主要邊界0 Γ 表面，適當的取n 個主節點，適當的離散
成虛擬八個節點的六面體元素。第二，在內含物次區域內選擇適
當的中心O 當作比例中心，同時決定比例常數k ∈ (0,1)以及層數s
依據比例中心O 與比例常數k1， k2 ， ⋅⋅⋅， k s 分別產生與0 Γ 相似的
邊界1 Γ ， 2 Γ ，⋅⋅⋅， s Γ 。在i−1 Γ 與i Γ 兩邊界中間的稱為第i 元素層（ i
＝1，2，⋅⋅⋅， s ）， s 為元素層的總數。第三，使得每一個邊界i Γ 獲
得與最外圍邊界0 Γ 相同的離散，形成所有虛擬的節點。而每一個
虛擬的節點座標皆可以依據幾何相似的概念由最外圍的主節點座
標依序推出。第四，每一個元素層依據虛擬節點自動劃分成八個
節點的元素；層與層之間在相同放射方向的元素彼此互為相似元
素。
當考慮第1 元素層（layer 1），使用有限元素法，運算出每一
個六面體元素的剛性矩陣，且集合成一整個元素層的剛性矩陣。
第1 元素層的剛性矩陣為
6m 6m
T
×
⎡ − ⎤
⎢⎣− ⎥⎦
a
b
K A
A K
(2-73)
其中a K 、b K 和A是維度3m×3m的次矩陣。AT 是A的轉置矩陣。
定義在邊界i Γ 上的所有節點位移向量i
δ
1 1 1
i i i i i i T
i m m m δ ≡⎡⎣u v w u v w⎤⎦ (2-74)
在邊界i Γ 上的所有節點外力負載向量i f
1 1 1
i i i i i i T
i x y z mx my mz f ≡⎡⎣f f f f f f⎤⎦ (2-75)
第i 元素層的剛性矩陣表示邊界i−1 Γ 與i Γ 之間的位移向量與節
點負載關係。以第1 元素層（layer 1）為例子，可以得到
經由MATLAB 語言程式整理所有與無限元素法相關的數值推
導[50]。經程式的運算，產生『無限元素』。由於無限元素法以有
限元素法為基礎，無限元素可以視為一個特別的有限元素，其元
素特性定義為Z K 。藉由有限元素套裝軟體ABAQUS 裡的使用者
定義元素（user-defined element）可以把無限元素成功導入整合模
型中[51]。
2-2-6 無限元素法的驗證
二維無限元素法、二維異質性無限元素法與三維無限元素法相
關的研究與驗證工作已經完成[31-34,40]。在本研究中，對無限元
素法的發展，除了繼續引入濕熱效應提升其功能性外，同時也提
出三維異質性無限元素法。
圖2-10 為置入單一粒子填充物的三維彈性正立方體之有限元
素-無限元素整合計算模型，粒子填充物半徑為12.5mm，正立方
體幾何尺寸為120mm×120mm×120mm。其中Ω與D分別代表有限
元素與異質性無限元素的部分。正立方體與粒子填充物的楊氏模
數（young’s modulus）分別為5 2
m E =10 N mm 和5 2
p E =10 N mm 。利
用此整合計算模型，在兩邊同施予均勻張力2
0σ =100N mm 的情況
下，計算正立方體內的粒子填充物周圍之應力與位移分佈，同時
與有限元素法做比較，驗證三維異質性無限元素法的正確性。
在此有限元素-無限元素整合計算模型中，主要由1008 個八節
點的六面體元素（有限元部分）與194 節點的三維異質性無限元
素（半徑為50mm）所組成。在異質性無限元素的部分，包含一個
粒子填充物（內含物次區域）以及其周圍的區域（中間相次區域），
使其中間相次區域材料特性與正立方體相同，如此可以視為粒子
填充物完美的置入正立方體中。在此，中間相次區域的主要功能
為精確描述粒子填充物周圍的應力變化。圖2-11，也建立了有限
元素計算模型，相較無限元素法的虛擬節點與元素，有限元素模
型必須使用大量的元素與節點。
有限元素法與三維異質性無限元素法所計算出的節點位移整
理在圖2-12 到圖2-14。比較沿著x、y 與z 軸方向的節點位移，發
現兩種方法所求出的結果皆為相同，也驗證了三維異質性無限元
素法的正確性。
圖2-15 到圖2-17 為沿著x、y 與z 軸方向的節點無因次化應
力（normalized stress）比較圖。可以發現兩種方法之結果有些許
的不同，但其趨勢是相同的。這是因為三維異質性無限元素法是
以平均高斯點（gauss point）應力值的方式求出節點的應力值，與
一般有限元素軟體不同。然而，無限元素法所求出應力曲線是較
平滑（smooth）的，這也顯示出無限元素法對於描述粒子填充物附
近的應力變化有較好的結果。
2-3 複合濕元素法
在這個部分將介紹整個二維複合濕元素法的詳細推導。複合濕
元素法主要是應用異質性無限元素法的觀念，元素內包含內外兩
不同次區域（中間相次區域與內含物次區域），內含物次區域為幾
乎不會吸濕的粒子填充物。
2-3-3 有限元素法與複合濕元素法之整合
有限元素法與複合濕元素法的整合概念同2-2-5 有限元素法與
無限元素法的整合，如圖2-20。全域模型由Ω部分（有限元素部
分）以及D部分（複合濕元素部分）所組成。在複合濕元素法的部
分，使用語言程式MATLAB 整理所有相關的數值推導[50]。經程
式的運算，產生『複合濕元素』。由於複合濕元素法是以有限元素
法為基礎，複合濕元素可以視為一個特別的有限元素。藉由有限
元素套裝軟體ABAQUS 可以把複合濕元素成功導入到整合模型中
[51]。
2-3-4 二維複合濕元素法的驗證
在這一部份，以混入粒子的異質性膠體為例，在暫態濕氣擴散
問題的求解上，比較複合濕元素法與有限元素法的結果，驗證所
發展二維複合濕元素法。
首先，使用有限元素-複合濕元素整合計算模型分析其暫態濕
度變化。整合計算模型的長寬比為4：3，其中包含了三個粒子填
充物（半徑為整合計算模型長度的7.5 倍小）， Ω代表有限元素部
分，D代表複合濕元素部分。由於複合濕元素本身包含粒子填充物
與中間相次區域，因此在整合模型中，使用複合濕元素取代每一
個粒子填充物與其外圍區域的位置。同時，使每一個複合濕元素
的中間相次區域材料特性與膠體相同，如此可以視為粒子填充物
完美的置入膠體中。
在左端85 oC/85%RH 濕度環境的影響下，濕氣從左端進入膠
體內部，隨著時間慢慢向右端擴散。在85 oC/85%RH 濕度環境下
的膠體濕氣擴散係數與最大飽和濕氣濃度分別為54.4×10-14m2/s與
16 kg/m3 ，粒子填充物則假設幾乎不會吸濕。
圖2-21 到圖2-23 為有限元素法與複合濕元素法在三個不同時
段的暫態濕度分佈圖。從圖中發現，其結果有些許的不同，但是
濕度分佈的趨勢是相同的。這是因為，雖然粒子填充物與中間相
次區域的共同邊界為濕度不連續（discontinuous），但是在推導過
程中引入= 0 1 C 使得1 0 0 -1 -1
b b C =K BC +K AC ，建立中間相次區域內
外邊界的濕度關係。以物理觀點來看，這個步驟強迫了中間相次
區域內邊界的濕度變化與時間無關（independent of time）。如此，
可以得到複合濕元素的矩陣方程式，但是在暫態濕度相關問題的
求解上，會造成些許的誤差。
其次，將比較在不同時間下異質性膠體介面濕度變化。使用長
寬比為5：1 的有限元素-複合濕元素整合計算模型，且包含了隨機
分佈的粒子填充物，其堆積比為45%。考慮粒子填充物非常均勻
的隨機分佈在膠體中，且粒子完美的嵌入膠體中。
圖2-24 為從第10 時段到第250 時段的膠體介面濕度變化圖。
比較其結果，發現複合濕元素法雖然高估了膠體介面濕度值，但
仍是可以接受的。此結果也暗示，複合濕元素法評估濕度到達全
飽和的時間將較有限元素法短。換句話說，在異質性膠體結構的
可靠度設計上，使用複合濕元素法，其結果雖然會稍微保守，但
是較安全的。
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