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第一节 曲线拟合的最小二乘法
问题的背景
通过观测、测量或试验得到某一函数在x1 ,x2 ,…,xn 的函数值. 我们可以用插值的方法对这一函数进行近似,而插值方法要求所得到的插值多项式经过已知的这n个插值结点;在n比较大的情况下, 插值多项式往往是高次多项式, 这也就容易出现振荡现象:虽然在插值结点上没有误差,但在插值结点之外插值误差变得很,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”. 于是, 我们采用数据拟合的方法.

定义1 数据拟合就是求一个简单的函数φ(x), 例如是一个低次多项式,不要求通过已知的这n个点，而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数,这时在每个已知点上就会有误差yk -φ(xk ),(k=1,2,…,n),数据拟合就是从整体上使误差yk -φ(xk) ,(k=1,2,…,n), 尽量的小一些.

如果要求: 达到最小,因误差yk -φ(xk)可正可负
本来很大的误差可能会正负抵消,这样的提法不合理,为防止正负抵消,可以要求:达到最小,但是由于绝对值函数不可以求导,分析起来不方便,求解也很难. 为了既能防止正负抵消，又能便于我们分析、求解，提出如下问题：
求一个低次多项式φ(x) ,使得: 达到最小,此问题便是一个数据拟合的最小二乘问题.

一、直线拟合 (一次函数)
通过观测、测量或试验得到某一函数在x1 ,x2 ,…,xn 的函数值：y1 ,y2 ,…,yn ,即得到n组数据(x1 ,y1 ),(x2 ,y2 ),…,(xn ,yn ),如果这些数据在直角坐标系中近似地分布在一条直线上,我们可以用直线拟合的方法.
已知数据(x1 ,y1 ),(x2 ,y2 ),…,(xn ,yn ),求一次多项式φ(x)=a+bx(实际上，就是求a,b), 使得:
（1）

达到最小.
注意到Q(a,b)中,xk ,yk 均是已知的,而a,b是未知量,Q(a,b)是未知

量a,b的二元函数,利用高等数学求二元函数极
小值(最小值)的方法，上述问题转化为求解下
列方程组:



的解.


由 得


因为 得到如下的正则方程组:
(3)
这是个关于a,b的二元一次方程组,称其为最小二乘问题的正则方程组解得a,b,便得到最小二乘问题的拟合函数 .

例1 已知10对数据如下表,利用最小二乘法求拟合曲线y=a+bx .

解：先列表来计算四个



形成所谓正则方程组:

解得a=6.4383，b=-0.7877于是，最小二乘拟合一次函数为 y=6.4383-0.7877x

二、多项式拟合
已知一组数据对(xi ,yi ),(i=1,2,…,n),求一个m次多项式(m