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图1　机器人装配系统

　 　因各参与装配对象a(i,j)都存在一定误差，从 而引起装配过程产生机器人位姿误差、夹持器定心偏差、装配件和基准件的加工误差、传送装置和随行夹具的定位误差。由于小位移摄动法尤其适合机器人位姿误差 的计算，且简单易编程，故将其引入整个机器人子装配机械系统来分析计算P_i。实际上影响装配精度的是装配件和基础装配件之间的相对位置，若知道二者的位姿，实际上就等于知道P_i值，所以最终目的是对工件夹持误差和基础装配件定位误差进行分析计算。

2.1　工件夹持位姿误差
　　工 件夹持误差是由机器人位姿误差、夹持器定心误差、供料装置的定向误差和零件装配尺寸误差决定。采用如下思想归算，机器人的位姿误差(P点的位姿误差)由摄 动法计算，一般夹持器是固定安装在机器人手部末端，可看作机器人手部的延伸，其误差为机器人的最后关节(即N点)的位姿误差。由于装配件在供料定向时会发 生误差，且工件本身的加工误差，也会引起机器人夹持工件时的位姿误差。因此，研究装配状态时，将夹持器与工件间的连接作为机器人的附加关节，这样工件末端 中心线点E就是装配基准点，该点的位姿误差即为装配件的夹持位姿误差。
　　如图1设置坐标系对机器人子装配系统予以描述，由于装配机器人大多用平面关节型机器人，其关节轴线平行，所以采用五参数模型进行推导。
　　用齐次变换矩阵表示为
　　(1)

式中，s和c表示sin函数和cos函数，对于回转关节，θ_i是关节变量，其余四参数a_i、α_i、β_i、d_i是结构参数；对于移动关节，d_i是关节变量，其余四参数是结构参数。
　　机器人装配系统中工件基准点E相对世界坐标系xyz的齐次变换矩阵为

T_E=A₀A₁A₂……A_NA_E(2)

　　若设机器人机构、夹持器和工件间均存在相对小位移摄动，则运动参数偏差引起的机器人夹持工件的位姿误差方程为

式中，C^u_i+1为工件坐标系相对于构件i坐标系的方向余弦矩阵，可由式(2)求出；d^A_i和δ^A_i分别为构件i相对于构件i-1的线位移和角位移摄动矢量列阵，同时也是齐次变换矩阵A_i的误差矩阵ΔA_i的移动误差和转动误差矢量列阵。
　　同理，也可求得关节间隙产生的机器人手部夹持工件的姿态误差^［2］。
　　综合这两部分误差，可求出夹持工件的位姿误差在工件坐标系x_Ey_Ez_E内的矢量列阵后，那么在机座坐标系x₀y₀z₀内机器人夹持工件的位姿误差综合为
(dx⁰ dy⁰ dz⁰)_T=(n^u₁ o^u₁ a^u₁)(dx^E dy^E dz^E)_T(5)
(δx⁰ δy⁰ δz⁰)_T=(n^u₁ o^u₁ a^u₁)(δx^E δy^E δz^E)_T(6)
记为

ΔP(i,E)=(dx⁰ dy⁰ dz⁰ δx⁰ δy⁰ δz⁰)_T

2.2　基础装配件定位误差
　　基础装配件一般安装在随行夹具上，然后在工作台或传送装置上移至装配位置进行定位。由于工作台、随行夹具和基础装配件都存在制造和安装误差，所以，引起基础装配件的定位误差。工作台和随行夹具的位姿误差的齐次变换矩阵为

式中，q_x、q_y、q_z和δ_x、δ_y、δ_z分别为位置和姿态误差；x₀是随行夹具被棘爪推动的受控位移，对于回转工作台x₀=0,δ_z=θ₀+ρ_z,θ₀为回转工作台的受控转角。
　　基础装配件上端中心线点F是装配基准点，下端中心线上的点G是夹具定位基准点，定位夹具可为多构件的可重组合或柔性夹具，F点相对世界坐标系的齐次变换为

T_F=B₀B₁B₂……B_GB_F(8)

　　设B₁、B₂、B₃分别表示坐标系x_Hy_Hz_H对xyz，　x_Gy_Gz_G对x_Hy_Hz_H，　x_Fy_Fz_F对x_Gy_Gz_G的坐标变换(见图1)，则有：T_F=B₁B₂B₃。
　　同理，采用摄动法，只须计算由运动参数引起的位姿误差，很容易得到基础装配件的定位位姿误差为
(dx⁰⁰ dy⁰⁰ dz⁰⁰)_T=(n^u₁₁ o^u₁₁ a^u₁₁)(dx^F dy^F dz^F)_T(9)
(δx⁰⁰ δy⁰⁰ δz⁰⁰)_T=(n^u₁₁ o^u₁₁ a^u₁₁)(δx^F δy^F δz^F)_T(10)
记为　　ΔP(i,F)=(dx⁰⁰ dy⁰⁰ dz⁰⁰ δx⁰⁰ δy⁰⁰ δz⁰⁰)_T

2.3　装配系统精度模型的建立
　　要保证工件能顺利插入基础装配件中，必须使点E和点F的相对位姿偏差小于满足正常装配所规定的条件，见图2，要保证轴孔中心线的偏差在规定的误差允许范围内，则子装配系统的精度可表示为
ΔP_i=(d_x dy dz δx δy δz)_T=ΔP(i,E)-ΔP(i,F)　　(11)
　　实际上对整个机器人装配系统而言，产品的装配精度是一个动态量，它从某一初始状态P_i开始，经过某一子装配A_i，终止于某一结束状态P_i+1，精度分析实际上是误差分析，实际装配中由于P_i和A_i总有误差，它们分别为ΔP_i和ΔA_i。

图2　子装配过程系统模型

　　对子装配系统而言，在理想情况(见图2a)下

P_i=P_i-1A_i (12)

　　而在实际装配过程(见图2b)中，前一子装配A_i-1存在的误差ΔP_i，对下一子装配必定产生影响
P_i+1+ΔP_i+1=(P_i+ΔP_i)(A_i+ΔA_i) (13)
式中，ΔP_i由式(11)求得；A_i为系统响应，由以上分析可知，A_i实际上是子装配的相对位姿变换矩阵，从误差传递的角度来讨论机器人装配系统，因该系统是具有n个子装配的串联系统，可得出结论：系统总的输出误差等于各串联子装配系统的系统误差响应的乘积，其子系统误差响应

N_i=E+A^-1_iΔA_i

式中，N_i为子装配系统的误差响应；E为单位矩阵。
　　当系统的输入误差ΔP_i及自身误差ΔA_i为随机变量时，按式(13)可求得输出误差ΔP_i+1的数字特征值。这样可递推出最终的装配精度P_n；反之，如果先规定出产品的装配精度，根据装配尺寸链关系，由式(13)可确定各子装配的精度，从而保证关键环节的装配精度。
　　
3　精度对装配过程影响的蒙特卡罗模拟
　　通过对装配系统精度的分析可知，影响产品装配精度的原始误差大多为随机量，且数目较多(＞5)，根据误差理论，不管这些误差属于何种概率分布，机器人夹持工件的位姿误差ΔP(i,E)和基础装配件的定位位姿误差ΔP(i,F)均接近正态分布，所以，装配精度P_i为期望值与随机误差之和，由于一定分布的随机误差可用蒙特卡罗法产生，因此可用来模拟机器人装配系统的精度。
　　用SRX-4CH型SCARA机器人来模拟电机轴孔装配过程，电机下盖7作为基础装配件固定在随行夹具8上，随行夹具在线体9上由气缸推动，先将滚动轴承6(C205)装配到下盖，再将定子5装入轴承孔，其装配模型见图3，系统的基本几何参数见表1。

表1

图3

　　数值计算所考虑的原始误差如下：
　　(1)Δθ₂、Δθ₃、Δθ₄标准差为σ=7.07×10^-4，且呈正态分布；
　　(2)Δa_i、Δd_i、Δα_i、Δβ_i分别在宽度为0.03 mm、0.05 mm、0.05°、0.05°的公差带内呈均匀分布；
　　()机器人关节间隙误差ΔC^r_i=0.02,ΔC^a_i=0.04,L_i=200 mm；
　　(4)随行夹具采用“一面二孔”定位，销孔配合精度为φ25H7/k6，孔间的横向精度和纵向精度为250±0.015和150±0.015，故夹具定位误差的标准差σ=0.047，呈正态分布。
　　考虑到其工作空间的对称性，本文仅考虑y≥0的平面内的位姿精度，将所考虑的工作空间平面划分为500个网格点。蒙特卡洛模拟的样本数为300，给定的位置和姿态误差分别为ΔP=0.1 cm,ΔΩ=0.015 rad。
　 　假设前一子装配已将轴承装入下盖的轴承座中，现进行定子插入轴承孔的子装配，模拟分3种情况：①一般装配过程，没有考虑夹具定位误差和装配误差的传递 影响，结果见图4a。②选择合理的定位精度：销孔配合精度为φ25(H7)/js6，孔间纵横向精度为250±0.01和150±0.01，结果见图 4b。③选择合理的定位精度，并补偿前一装配的误差传递影响，结果见图4c。